기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 35, 22, 53, 33, 30.

n = 5

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 50인 정규분포를 따릅니다. 520점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 50x = 520

z =

3.확률보통

11명 중에서 2명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 11k = 2

N =

4.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 0.5X + 1입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.35, 0.35, 0.1, 0.15Y = 0.5X + 1

σ_Y =

5.정규분포보통

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 422에서 532 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 532

P =

6.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 95%가 그 아래에 있는 값 x(95 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 95%

x = 점

7.신뢰구간보통

항목 15개의 표본 평균은 51, 표준편차는 s = 8입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 15x̄ = 51s = 895%t(14) = 2.145

E =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 15E = 595%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 196.5, 표본 표준편차는 20입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 196.5s = 20n = 64

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 64개의 표본 평균은 79.8입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 79.8σ = 20n = 6490%

U =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 23을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 23

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 11.41

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 173/5 = 34.6

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 0.4² + (−12.6)² + 18.4² + (−1.6)² + (−4.6)² = 521.2

표준편차

s = √(521.2/4) = 11.41

답

s = 11.41

2.기술통계

답: z = 0.4

표준화하기

z = (520 − 500)/50 = 0.4

답

z = 0.4

3.확률

답: N = 55

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

답

N = 55

4.확률

답: σ_Y = 0.5585

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 2.95, Var(X) = 1.248, σ_X = 1.117

일차 변환

σ_Y = |0.5|·1.117 = 0.5585

답

σ_Y = 0.5585

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 0.5·2.95 + 1 = 2.475.

5.정규분포

답: P = 0.7626

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (422 − 500)/40 = −1.95

z₂ = (532 − 500)/40 = 0.8

사이의 넓이

P = Φ(0.8) − Φ(−1.95) = 0.7881 − 0.02559 = 0.7626

답

P = 0.7626

6.정규분포

답: x = 124.7 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

다시 x로

x = 100 + 1.645·15 = 124.67 점

답

x = 124.67 점

7.신뢰구간

답: E = 4.431

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 14, t = 2.145

오차 한계

E = 2.145·8/√15 = 4.431

답

E = 4.431

8.신뢰구간

답: n = 35

n에 대해 풀기

n = (1.96·15/5)² = 34.57

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 35

답

n = 35

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.4

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

검정통계량

t = (196.5 − 200)/2.5 = −1.4

답

t = −1.4

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 83.91

오차 한계

E = 1.645·20/√64 = 4.112

구간 끝값

U = 79.8 + 4.112 = 83.91

답

U = 83.91

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9861

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 59/5 = 11.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 140.8

상관계수

r = 74/√(40·140.8) = 0.9861

답

r = 0.9861

12.선형 회귀와 상관

답: x = 7.067

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 99/5 = 19.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

회귀직선

b = 120/40 = 3

a = 19.8 − 3·6 = 1.8

ŷ = 1.8 + 3·x

x 구하기

x = (23 − 1.8)/3 = 7.067

답

x = 7.067

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