통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

X는 평균 12 min, 표준편차 1.5 min인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 20 min, 표준편차 2 min인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 35.1 min보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.1 min

P =

2.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 80대, 평균 131 h, 알려진 표준 편차 18 h. 모델 2: 휴대전화 40대, 평균 125.5 h, 알려진 표준 편차 5 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 80x̄₁ = 131 hσ₁ = 18 hn₂ = 40x̄₂ = 125.5 hσ₂ = 5 h99%

하한 = h

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 15E = 595%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 48.8, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 48.8s = 12n = 81

t =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 100개의 표본 평균은 116입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 116σ = 20n = 10090%

L =

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (2.5, 62)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(2.5, 62)

e =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “학생, 자동차”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 73열 합계 = 51N = 164

E =

10.카이제곱 검정어려움

행 3개, 열 3개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

3 × 3

df =

3용액

1.정규분포

답: P = 0.1075

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

표준화하기

z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075

답

P = 0.1075

2.정규분포

답: P = 0.7881

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

3.신뢰구간

답: 하한 = −0.06976 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 131 − 125.5 = 5.5

표준오차

SE = √(18²/80 + 5²/40) = 2.162

오차 한계

E = 2.576·2.162 = 5.57

구간

5.5 ± 5.57 → [−0.06976, 11.07]

답

하한 = −0.06976 h

구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.

4.신뢰구간

답: n = 35

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.96·15/5)² = 34.57

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 35

답

n = 35

5.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −0.9

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

검정통계량

t = (48.8 − 50)/1.333 = −0.9

답

t = −0.9

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 112.7

오차 한계

E = 1.645·20/√100 = 3.29

구간 끝값

L = 116 − 3.29 = 112.7

답

L = 112.7

7.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9867

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 719/6 = 119.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 435

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2777

상관계수

r = 435/√(70·2777) = 0.9867

답

r = 0.9867

8.선형 회귀와 상관

답: e = 5.5

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 295/5 = 59

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50

회귀직선

b = 50/10 = 5

a = 59 − 5·3 = 44

ŷ = 44 + 5·x

예측값

ŷ = 44 + 5·2.5 = 56.5

잔차

e = 62 − 56.5 = 5.5

답

e = 5.5

점이 직선 위쪽에 있습니다.

9.카이제곱 검정

답: E = 22.7

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 73·51/164 = 22.7

답

E = 22.7

10.카이제곱 검정

답: df = 4

자유도

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

답

df = 4

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