용수철과 진자
- 용수철에 매달린 물체
- T = 2π·√(m/k)
- 단진자
- T = 2π·√(L/g)
- 각주파수
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 최대 속력과 최대 가속도
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 에너지
- E = ½·k·A²
파동과 광학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 4개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
파동, 소리, 광학
- 파동의 속력
- v = fλ, T = 1/f
- 줄
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 음의 세기 수준
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 점음원
- I = P/(4πr²)
- 정상파
- 줄 또는 열린 관 fn = n·v/(2L); 닫힌 관 fn = n·v/(4L), n은 홀수
- 도플러 효과
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 굴절률
- n = c/v, λ = λ0/n
- 스넬의 법칙
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 임계각
- sin θc = n2/n1
- 광섬유
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 렌즈와 거울
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 이중 슬릿
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 회절 격자
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 단일 슬릿
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
방법
- 문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
- 관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- 단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
- 부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.
2연습 문제
1.용수철과 진자보통
k = 190 N/m인 스프링에 매단 3 kg 질량을 양의 방향으로 3 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.45 s에서의 속도 v(부호 포함)을(를) 구하시오.
m = 3 kgk = 190 N/mA = 3 cmt = 0.45 s
v = m/s
2.용수철과 진자어려움
k = 290 N/m인 용수철에 매단 1 kg 물체를 평형 위치에서 19 cm 당겼다가 놓는다. 진동의 전체 에너지 E을(를) 구하시오.
m = 1 kgk = 290 N/mA = 19 cm
E = J
3.파동, 소리, 광학보통
작은 음원이 모든 방향으로 똑같이 소리를 낸다. 음원에서 10 m 떨어진 곳의 수준이 95 dB이다. 흡수와 반사를 무시할 때 30 m 떨어진 곳의 수준 β2을(를) 구하시오.
β1 = 95 dBr1 = 10 mr2 = 30 m
β2 = dB
4.파동, 소리, 광학어려움
파장 550 nm의 빛이 폭 0.15 mm의 단일 슬릿을 통과한다. 2 m 떨어진 스크린에서 중앙 밝은 극대의 폭 w(양쪽 첫 번째 어두운 무늬 사이)을 구하시오.
λ = 550 nma = 0.15 mmL = 2 m
w = mm
3용액
1.용수철과 진자
답: v = 0.1016 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
각주파수
ω = √(190/3) = 7.958 rad/s
ω·t = 7.958·0.45 = 3.581 rad
속도
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·7.958·sin(3.581) = 0.1016 m/s
답
v = 0.1016 m/s
2.용수철과 진자
답: E = 5.235 J
단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.
각주파수
ω = √(290/1) = 17.03 rad/s
에너지
E = ½·k·A² = ½·290·0.19² = 5.235 J
답
E = 5.235 J
3.파동, 소리, 광학
답: β2 = 85.46 dB
파동: 주기적인 파동은 한 주기에 한 파장을 이동하므로 v = fλ이고 T = 1/f입니다. 팽팽한 줄에서는 v = √(T/μ)이며, T는 장력, μ = m/L은 1미터당 질량입니다. 공기 중의 소리는 20 °C에서 약 343 m/s로, 진공 중의 빛은 c = 3.00 × 10⁸ m/s로 진행합니다. 소리의 크기는 로그 눈금으로 측정합니다: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, I₀ = 10⁻¹² W/m²이므로 세기가 10배가 되면 10 dB가 늘어납니다. 점음원은 일률 P를 구면 위로 퍼뜨립니다: I = P/(4πr²).
세기의 비
I₂/I₁ = (10/30)² = 0.1111
새로운 수준
β₂ = 95 + 10·log₁₀(0.1111) = 85.46 dB
답
β2 = 85.46 dB
거리가 두 배가 될 때마다 수준이 약 6 dB씩 낮아집니다.
4.파동, 소리, 광학
답: w = 14.67 mm
간섭과 회절: 거리 d만큼 떨어진 두 슬릿을 지난 빛은 경로차 d·sin θ를 가지고 스크린의 한 점에 도달합니다. 밝은 무늬는 d·sin θ = mλ(m = 0, ±1, ±2, …)인 곳에 나타납니다. 스크린까지의 거리 L ≫ d이면 m번째 밝은 무늬는 y = mλL/d에 있고 무늬 간격은 Δy = λL/d입니다. 1 mm당 N개의 선이 있는 격자는 d = 1/N이고 d·sin θ = mλ에서 날카로운 극대를 만듭니다. sin θ ≤ 1이므로 가장 높은 차수는 m ≤ d/λ를 만족하는 가장 큰 정수입니다. 폭 a의 단일 슬릿은 a·sin θ = mλ (m = ±1, ±2, …)에서 어두운 무늬를 만듭니다.
첫 번째 어두운 무늬
y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·2/(0.15 × 10⁻³) = 7.333 mm
중앙 극대의 폭
w = 2y₁ = 14.67 mm
답
w = 14.67 mm
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