파동과 광학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 4개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체
T = 2π·√(m/k)
단진자
T = 2π·√(L/g)
각주파수
ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도
vmax = A·ω, amax = A·ω²
에너지
E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력
v = fλ, T = 1/f
줄
v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
점음원
I = P/(4πr²)
정상파
줄 또는 열린 관 fn = n·v/(2L); 닫힌 관 fn = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
굴절률
n = c/v, λ = λ0/n
스넬의 법칙
n1sin θ1 = n2sin θ2
임계각
sin θc = n2/n1
광섬유
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
렌즈와 거울
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
이중 슬릿
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
회절 격자
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
단일 슬릿
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

  1. 문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
  2. 관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. 단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
  4. 부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.용수철과 진자보통
t (s)x (cm)0.3 s

k = 380 N/m인 스프링에 매단 3.4 kg 질량을 양의 방향으로 7 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.3 s에서 평형점으로부터의 변위 x(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 3.4 kgk = 380 N/mA = 7 cmt = 0.3 s
x = cm
2.용수철과 진자어려움
1.7 kgk = 360 N/mA = 14 cm

k = 360 N/m인 용수철에 매단 1.7 kg 물체를 평형 위치에서 14 cm 당겼다가 놓는다. 진동의 전체 에너지 E을(를) 구하시오.

m = 1.7 kgk = 360 N/mA = 14 cm
E = J
3.파동, 소리, 광학보통
L = 0.4 mn = 2

양 끝이 열린 관의 길이는 0.4 m이다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 2번째 배진동의 진동수 f2을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 2L = 0.4 m
f2 = Hz
4.파동, 소리, 광학어려움
λ = 500 nma = 0.05 mmL = 2 m

파장 500 nm의 빛이 폭 0.05 mm의 단일 슬릿을 통과한다. 2 m 떨어진 스크린에서 중앙 밝은 극대의 폭 w(양쪽 첫 번째 어두운 무늬 사이)을 구하시오.

λ = 500 nma = 0.05 mmL = 2 m
w = mm

3용액

1.용수철과 진자

답: x = −6.997 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(380/3.4) = 10.57 rad/s
ω·t = 10.57·0.3 = 3.172 rad

변위

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(3.172) = −6.997 cm

답

x = −6.997 cm
2.용수철과 진자

답: E = 3.528 J

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

각주파수

ω = √(360/1.7) = 14.55 rad/s

에너지

E = ½·k·A² = ½·360·0.14² = 3.528 J

답

E = 3.528 J
3.파동, 소리, 광학

답: f2 = 857.5 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 fn = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 2L/n = 2·0.4/2 = 0.4 m

진동수

f = v/λ = 343/0.4 = 857.5 Hz

답

f2 = 857.5 Hz
4.파동, 소리, 광학

답: w = 40 mm

간섭과 회절: 거리 d만큼 떨어진 두 슬릿을 지난 빛은 경로차 d·sin θ를 가지고 스크린의 한 점에 도달합니다. 밝은 무늬는 d·sin θ = mλ(m = 0, ±1, ±2, …)인 곳에 나타납니다. 스크린까지의 거리 L ≫ d이면 m번째 밝은 무늬는 y = mλL/d에 있고 무늬 간격은 Δy = λL/d입니다. 1 mm당 N개의 선이 있는 격자는 d = 1/N이고 d·sin θ = mλ에서 날카로운 극대를 만듭니다. sin θ ≤ 1이므로 가장 높은 차수는 m ≤ d/λ를 만족하는 가장 큰 정수입니다. 폭 a의 단일 슬릿은 a·sin θ = mλ (m = ±1, ±2, …)에서 어두운 무늬를 만듭니다.

첫 번째 어두운 무늬

y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·2/(0.05 × 10⁻³) = 20 mm

중앙 극대의 폭

w = 2y₁ = 40 mm

답

w = 40 mm

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