AP Calculus uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ribos

Tiesioginis įstatymas: pirmiausia įstatykite x = a; 0/0 reiškia, kad reikia suprastinti
Išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Jungtinis reiškinys: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Ribos begalybėje: dalykite iš aukščiausio x laipsnio; kai laipsniai lygūs, riba lygi vyriausiųjų koeficientų santykiui
Ypatingoji riba: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Lopitalio taisyklė: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Optimizavimas

Metodas: užrašykite Q(x) su vienu kintamuoju, išspręskite Q′(x) = 0, patikrinkite Q″ arba intervalo galus
Maksimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimumas: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Uždaras cilindras: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Pelnas: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Sekos ir eilutės

Aritmetinė seka: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrinė seka: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Begalinė geometrinė eilutė: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p eilutė: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergavimo spindulys: R = lim |c_k/c_k+1|
Teiloro polinomas: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maklorino eilutė: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagranžo paklaidos įvertis: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metodas

Nustatykite tipą: aritmetinė (pastovus skirtumas), geometrinė (pastovus daugiklis), standartinė eilutė, laipsninė eilutė arba Teiloro polinomas.
Sumoms naudokite Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) arba S = a₁/(1 − r), kai |r| < 1, kur a₁ yra pirmasis sumos narys.
Konvergavimui: pirmiausia būtinoji sąlyga, tada palyginkite su Σ1/kᵖ ar geometrine eilute, o faktorialams ir k-tiesiems laipsniams naudokite d’Alambero ar Koši kriterijų.
Teiloro polinomams išvardykite f(a), f′(a), f″(a), …, k-ąją išvestinę padalykite iš k! ir paklaidą įvertinkite M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Uždaviniai

1.RibosVidutinis

Raskite ribą L = lim_x→∞ (√(4x² − 2x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 2x) − 2xx → ∞

L =

2.RibosSunkus

Raskite ribą L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = ln(3x² + 1). Raskite f′(−2).

f(x) = ln(3x² + 1)x = −2

f′(−2) =

4.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ + 9x² + 24x − 2. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ + 9x² + 24x − 2

x =

5.OptimizavimasVidutinis

Atvira dėžė (be dangčio) kvadratiniu dugnu turi talpinti 32000 cm³. Sunaudokite kuo mažiau medžiagos, t. y. dugno ir keturių šonų plotas turi būti mažiausias. Raskite dugno kraštinę x.

V = 32000 cm³

x = cm

6.OptimizavimasSunkus

Įmonė per savaitę parduoda q vienetų. Kaina, už kurią juos galima parduoti, yra p = 110 − 0,5q eurų už vienetą, o sąnaudos C(q) = 200 + 75q eurų. Raskite kainą p, kuriai esant pelnas didžiausias.

p = 110 − 0,5qC = 200 + 75q

p = €

7.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀³ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 3]

I =

8.IntegralaiSunkus

Raskite srities tarp parabolės y = 9 − x² ir x ašies plotą A.

y = 9 − x²

A =

9.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 5y′ + 4y = 0, kai y(0) = 5 ir y′(0) = -2. Raskite y(2).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(2) =

10.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y′ + y = 9e^−3t su y(0) = 2. Raskite y(1).

y′ + y = 9e^−3ty(0) = 2

y(1) =

11.Sekos ir eilutėsVidutinis

Laipsninė eilutė Σ_k=1^∞ k·2ᵏ·(x − 2)ᵏ konverguoja intervale aplink x₀ = 2. Raskite to intervalo kairįjį galą x.

Σ k·2ᵏ·(x − 2)ᵏx₀ = 2

x =

12.Sekos ir eilutėsSunkus

Naudokite 2 laipsnio f(x) = cos x Maklorino polinomą f(1,2) apytiksliai rasti. Pateikite P₂(1,2).

f(x) = cos xn = 2x = 1,2

P₂(1.2) =

3Tirpalai

1.Ribos

Atsakymas: L = −0,5

Ribos: pirmiausia pabandykite tiesiogiai įstatyti. Jei gaunate 0/0, pirmiausia suprastinkite: išskaidykite dauginamaisiais ir suprastinkite bendrą daugiklį arba padauginkite iš jungtinio reiškinio. Kai x → ∞, skaitiklį ir vardiklį padalykite iš aukščiausio x laipsnio. Lopitalio taisyklė: jei f/g duoda 0/0 arba ∞/∞, tai lim f/g = lim f′/g′, skaitiklį ir vardiklį diferencijuojant atskirai (ne pagal dalmens išvestinės taisyklę).

Padauginkite iš jungtinio reiškinio

f(x) = −2x/(√(4x² − 2x) + 2x)

Padalykite iš x

f(x) = −2/(√(4 + (−2)/x) + 2)

Tegu x → ∞

L = −2/(2 + 2) = −0,5

Atsakymas

L = −0,5

2.Ribos

Atsakymas: L = 1,125

Pirmasis taikymas

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Antrasis taikymas

2,25·e^1,5x/2

Įstatykite x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Atsakymas

L = 1,125

3.Išvestinės

Atsakymas: f′(−2) = −0,9231

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė logaritmui

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

Įstatykite

f′(−2) = −12/13 = −0,9231

Atsakymas

f′(−2) = −0,9231

4.Išvestinės

Atsakymas: x = −2

Išvestinė

f′(x) = 3x² + 18x + 24 = 3·(x² + 6x + 8)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −4 arba x = −2

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 18: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6

x = −2

Atsakymas

x = −2

5.Optimizavimas

Atsakymas: x = 40 cm

Optimizavimas: optimizuojamą dydį užrašykite kaip vieno kintamojo funkciją, kitą kintamąjį pašalindami pagal ribojimą. Išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite. Patikrinkite, ar kritinis taškas yra maksimumas ar minimumas (pagal antrąją išvestinę arba pirmosios išvestinės ženklo pokytį) ir ar jis yra leistinoje srityje; galinis taškas, pavyzdžiui, nulinio ilgio kraštinė, nėra atsakymas.

Plotas kaip x funkcija

S(x) = x² + 128000/x

Prilyginkite išvestinę nuliui

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, todėl tai minimumas.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Aukštis ir plotas

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Atsakymas

x = 40 cm

Geriausios atviros dėžės aukštis lygus pusei jos pločio.

6.Optimizavimas

Atsakymas: p = 92,5 €

Pelno funkcija

P(q) = (110 − 0,5q)·q − (200 + 75q) = −0,5q² + 35q − 200

Prilyginkite išvestinę nuliui

P″(q) = −1 < 0, todėl tai maksimumas.

q = 35/1 = 35

Kaina ir pelnas

p = 110 − 0,5·35 = €92,5

P = 35·35 − 0,5·35² − 200 = €412,5

Atsakymas

p = €92,5

7.Integralai

Atsakymas: I = 6,963

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = e^0,5x/0,5

Įstatykite rėžius

I = (e^1,5 − 1)/0,5 = (4,482 − 1)/0,5 = 6,963

Atsakymas

I = 6,963

8.Integralai

Atsakymas: A = 36

Nuliai

9 − x² = 0 → x = ±3

Integruokite

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Atsakymas

A = 36

9.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 0,8117

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 5, −1A − 4B = -2

A = 6, B = −1

Apskaičiuokite

y(2) = 6·e⁻² + (−1)·e⁻⁸ = 0,8117

Atsakymas

y(2) = 0,8117

10.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1) = 2,167

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Integruojantysis daugiklis

μ = e^t

(e^ty)′ = 9e^−2t

Bendrasis sprendinys

y = 9/(−2)·e^−3t + C·e^−t = −4,5·e^−3t + C·e^−t

Pradinė sąlyga

2 = −4,5 + C → C = 6,5

Apskaičiuokite

y(1) = −4,5·0,04979 + 6,5·0,3679 = 2,167

Atsakymas

y(1) = 2,167

11.Sekos ir eilutės

Atsakymas: x = 1,5

Konvergavimas: jei nariai nesiekia 0, eilutė diverguoja (būtinoji sąlyga). Σ1/kᵖ konverguoja tik kai p > 1, o Σrᵏ – tik kai |r| < 1. Eilutę palyginkite su viena iš šių, kai jos nariai dideliems k elgiasi panašiai. D’Alambero kriterijus: L = lim |a_k+1/a_k|; Koši šaknies kriterijus: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konverguoja, L > 1 diverguoja, L = 1 nieko nenusprendžia. Laipsninė eilutė Σc_k(x − x₀)ᵏ konverguoja, kai |x − x₀| < R, kur R = lim |c_k/c_k+1|; alternuojančioji eilutė, kurios nariai mažėja iki 0, konverguoja.

Koeficientai

c_k/c_k+1 = (1/2)·(k/(k + 1)) → 1/2

Spindulys

R = 0,5

Intervalas

1,5 < x < 2,5

x = 1,5

Atsakymas

x = 1,5

D’Alambero kriterijus nieko nesako apie du galinius taškus; juos reikia tikrinti atskirai.

12.Sekos ir eilutės

Atsakymas: P₂(1.2) = 0,28

Teiloro polinomai: prie x = a glodi funkcija aproksimuojama Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; kai a = 0, tai Maklorino polinomas. Standartinės eilutės: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagranžo paklaidos įvertis: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, kur M yra didžiausia |f⁽ⁿ⁺¹⁾| reikšmė tarp a ir x.

Maklorino polinomas

P₂(x) = 1 − 0,5x²

Įstatykite

P₂(1,2) = 1 − 0,72 = 0,28

Atsakymas

P₂(1,2) = 0,28

Tiksli reikšmė yra f(1,2) = 0,362358; paklaida 0,0823578 mažėja, kai imama daugiau narių arba taškas arčiau 0.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice