AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 52, 40, 45, 32, 58.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 53,2?

μ = 50σ = 8x = 53,2

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,15, 0,25

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,5. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 6p = 0,5

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 45 ir 75,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x₁ = 45x₂ = 75,5

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 10 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.10%

x = tšk.

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 21.

n = 5x = 21

ŷ =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 107,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 106 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 50x̄₁ = 107,5 hσ₁ = 7 hn₂ = 30x̄₂ = 106 hσ₂ = 4 h95%

apatinis rėžis = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,6. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,05?

p ≈ 0,6E = 0,0599%

n =

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 99,6, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 99,6s = 4n = 81

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 5 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 12. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 80%δ = 5σ = 12z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 2

χ² =

14.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,01 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,14

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 227/5 = 45,4

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 6,6² + (−5,4)² + (−0,4)² + (−13,4)² + 12,6² = 411,2

Standartinis nuokrypis

s = √(411,2/4) = 10,14

Atsakymas

s = 10,14

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6554

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 124

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,15 + 40·0,25 = 24

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,15 + 1600·0,25 = 700

Dispersija

Var(X) = 700 − 24² = 124

Atsakymas

Var(X) = 124

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1094

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,5⁶ = 0,01563

P(X = 1) = 6·0,5·0,5⁵ = 0,09375

Sudėkite

P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094

Atsakymas

P = 0,1094

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8304

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (45 − 65)/10 = −2

z₂ = (75,5 − 65)/10 = 1,05

Plotas tarp

P = Φ(1,05) − Φ(−2) = 0,8531 − 0,02275 = 0,8304

Atsakymas

P = 0,8304

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 80,8 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,1

z iš lentelės

z ≈ −1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 − 1,28·15 = 80,8 tšk.

Atsakymas

x = 80,8 tšk.

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,983

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 426/6 = 71

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 105

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 652

Koreliacijos koeficientas

r = 105/√(17,5·652) = 0,983

Atsakymas

r = 0,983

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 80,2

Vidurkiai

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 335/5 = 67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176

Regresijos tiesė

b = 176/40 = 4,4

a = 67 − 4,4·18 = −12,2

ŷ = −12,2 + 4,4·x

Prognozė

ŷ = −12,2 + 4,4·21 = 80,2

Atsakymas

ŷ = 80,2

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −0,9111 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 107,5 − 106 = 1,5

Standartinė paklaida

SE = √(7²/50 + 4²/30) = 1,23

Paklaidos riba

E = 1,96·1,23 = 2,411

Intervalas

1,5 ± 2,411 → [−0,9111, 3,911]

Atsakymas

apatinis rėžis = −0,9111 h

Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 638

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,6·0,4/0,05² = 637

Apvalinkite aukštyn

n = 638

Atsakymas

n = 638

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,9

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Testo statistika

t = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Atsakymas

t = −0,9

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 58

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 0,842)·12/5)² = 57,81

Apvalinkite aukštyn

n = 58

Atsakymas

n = 58

13.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 5

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

rūkantieji: 40·64/160 = 16, 40·96/160 = 24

nerūkantieji: 120·64/160 = 48, 120·96/160 = 72

Chi kvadrato statistika

χ² = (10 − 16)²/16 + (30 − 24)²/24 + (54 − 48)²/48 + (66 − 72)²/72

χ² = 5

Atsakymas

χ² = 5

df = 1. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 3,841, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

14.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 1,778

Tikėtini dažniai

linija 1: 18, 42

linija 2: 18, 42

linija 3: 30, 70

Chi kvadrato statistika

χ² = (14 − 18)²/18 + (46 − 42)²/42 + (20 − 18)²/18 + (40 − 42)²/42 + (32 − 30)²/30 + (68 − 70)²/70

χ² = 1,778

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 9,210

1,778 < 9,210

Atsakymas

χ² = 1,778

χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice