AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 10, 44, 52, 55, 59, 14, 42.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 40. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 440?

μ = 500σ = 40x = 440

P =

3.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 5 raudoni ir 5 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

5 / 5

P =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 0,5X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,3, 0,05, 0,35, 0,25Y = 0,5X + 10

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 117,8 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117,8 s

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 21). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 21)

e =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 8,1. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 900 stebėjimų?

90%n₁ = 100E₁ = 8,1n₂ = 900

E₂ =

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

10 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 1 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 9, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 2,7, o 2,5 % – aukščiau 19,023.

n = 10s = 1 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 43,4, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 43,4s = 12n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 0,599%

n =

13.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „dieninė pamaina, nežymus“ tikėtiną dažnį E.

eilutės suma = 99stulpelio suma = 29N = 163

E =

14.Chi kvadrato testaiSunkus

Lentelėje pateikti stebėti dažniai. Esant α = 0,05 patikrinkite, ar abu kintamieji nepriklausomi (be tolydumo pataisos). Apskaičiuokite testo statistiką χ², tada palyginkite ją su kritine reikšme iš lentelės.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 19,68

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 276/7 = 39,43

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−29,43)² + 4,571² + 12,57² + 15,57² + 19,57² + (−25,43)² + 2,571² = 2324

Standartinis nuokrypis

s = √(2324/6) = 19,68

Atsakymas

s = 19,68

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9332

Standartizuokite

z = −1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2222

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222

Atsakymas

P = 0,2222

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 0,6418

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 3,45, Var(X) = 1,647, σ_X = 1,284

Tiesinis pokytis

σ_Y = |0,5|·1,284 = 0,6418

Atsakymas

σ_Y = 0,6418

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·3,45 + 10 = 11,72.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,02275

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (117,8 − 105)/6,403 = 2

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7611

Skirtumo skirstinys

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

Atsakymas

P = 0,7611

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9784

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 224/6 = 37,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 633,3

Koreliacijos koeficientas

r = 206/√(70·633,3) = 0,9784

Atsakymas

r = 0,9784

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4,167

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 101/6 = 16,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48,5

Regresijos tiesė

b = −48,5/17,5 = −2,771

a = 16,83 − (−2,771)·3,5 = 26,53

ŷ = 26,53 − 2,771·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 26,53 + (−2,771)·3,5 = 16,83

Liekana

e = 21 − 16,83 = 4,167

Atsakymas

e = 4,167

Taškas yra virš tiesės.

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 2,7

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(100/900) = 0,3333

Nauja paklaidos riba

E₂ = 8,1·0,3333 = 2,7

Atsakymas

E₂ = 2,7

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 0,6878 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 9·1² = 9

σ² rėžiai

9/19,023 = 0,4731

9/2,7 = 3,333

σ rėžis

σ = √0,4731 = 0,6878 µm

Atsakymas

σ = 0,6878 µm

σ 95 % intervalas: [0,6878, 1,826] µm.

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Testo statistika

t = (43,4 − 50)/3 = −2,2

Atsakymas

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1699

Išreikškite n

n = (2,576·8/0,5)² = 1699

Apvalinkite aukštyn

n = 1699

Atsakymas

n = 1699

13.Chi kvadrato testai

Atsakymas: E = 17,61

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtinas dažnis

E = 99·29/163 = 17,61

Atsakymas

E = 17,61

14.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 4,531

Tikėtini dažniai

amžius 18–30: 48, 32

amžius 31–50: 24, 16

amžius 51+: 48, 32

Chi kvadrato statistika

χ² = (47 − 48)²/48 + (33 − 32)²/32 + (19 − 24)²/24 + (21 − 16)²/16 + (54 − 48)²/48 + (26 − 32)²/32

χ² = 4,531

Sprendimas

df = 2, χ²_crit = 5,991

4,531 < 5,991

Atsakymas

χ² = 4,531

χ² mažesnis už kritinę reikšmę, todėl H₀ neatmetama: reikšmingų ryšio įrodymų nėra.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice