Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Chi kvadrato testai
- Testo statistika
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Suderinamumo kriterijus
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Nepriklausomumas
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritinės reikšmės (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Sprendimas
- atmeskite H0, jei χ² > χ²crit
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 16, 35, 18, 29, 60.
n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 86 z įvertį z.
μ = 70σ = 8x = 86
z =
3.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 14 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 14k = 5
N =
4.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €10. Laimite €50 su tikimybe 0,15 ir €200 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €10€50: p = 0,15€200: p = 0,02
E(G) = €
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 174,85 ir 188,85 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 178σ = 7x1 = 174,85x2 = 188,85
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 60 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 23?
n = 6ŷ = 23
x =
9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 94 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. 2 modelis: 60 telefonų, vidurkis 79 h, žinomas standartinis nuokrypis 12 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 80x̄₁ = 94 hσ₁ = 16 hn₂ = 60x̄₂ = 79 hσ₂ = 12 h95%
apatinis rėžis = h
10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
20 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 11,6 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 19, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 8,907, o 2,5 % – aukščiau 32,852.
n = 20s = 11,6 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
100 studentų imties vidutinis rezultatas – 78,15, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 78,15s = 15n = 100
t =
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 78 iš 120 pacientų, gydytų A būdu, ir 159 iš 300 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 78n₁ = 120x₂ = 159n₂ = 300
z =
13.Chi kvadrato testaiVidutinis
Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Chi kvadrato nepriklausomumo testui raskite langelio „studentai, automobilis“ tikėtiną dažnį E.
eilutės suma = 114stulpelio suma = 53N = 215
E =
14.Chi kvadrato testaiSunkus
Chi kvadrato nepriklausomumo testas atliekamas kryžminei lentelei, turinčiai 2 eilutes ir 5 stulpelius (neskaičiuojant sumų). Naudodami lentelę, raskite kritinę reikšmę χ²crit, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 17,7
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 158/5 = 31,6
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−15,6)² + 3,4² + (−13,6)² + (−2,6)² + 28,4² = 1253
Standartinis nuokrypis
s = √(1253/4) = 17,7
Atsakymas
s = 17,7
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = 2
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (86 − 70)/8 = 2
Atsakymas
z = 2
3.Tikimybė
Atsakymas: N = 2002
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002
Atsakymas
N = 2002
4.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 1,5 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 40 (p = 0,15), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)
Laukiamoji vertė
E(G) = 40·0,15 + 190·0,02 − 10·0,83 = 1,5 €
Atsakymas
E(G) = 1,5 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6131
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45
z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55
Plotas tarp
P = Φ(1,55) − Φ(−0,45) = 0,9394 − 0,3264 = 0,6131
Atsakymas
P = 0,6131
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 179,8 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,6
z iš lentelės
z ≈ 0,25
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm
Atsakymas
x = 179,8 cm
7.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,871
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 113/5 = 22,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Syy = Σ(y − ȳ)² = 37,2
Determinacijos koeficientas
r² = −18²/(10·37,2) = 0,871
Atsakymas
r² = 0,871
Apie 87,1% y kitimo paaiškinama tiese.
8.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 4,886
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 188/6 = 31,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276
Regresijos tiesė
b = 276/70 = 3,943
a = 31,33 − 3,943·7 = 3,733
ŷ = 3,733 + 3,943·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (23 − 3,733)/3,943 = 4,886
Atsakymas
x = 4,886
9.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 10,36 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 94 − 79 = 15
Standartinė paklaida
SE = √(16²/80 + 12²/60) = 2,366
Paklaidos riba
E = 1,96·2,366 = 4,638
Intervalas
15 ± 4,638 → [10,36, 19,64]
Atsakymas
apatinis rėžis = 10,36 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
10.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 16,94 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 19·11,6² = 2557
σ² rėžiai
2557/32,852 = 77,82
2557/8,907 = 287
σ rėžis
σ = √287 = 16,94 µm
Atsakymas
σ = 16,94 µm
σ 95 % intervalas: [8,822, 16,94] µm.
11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Testo statistika
t = (78,15 − 75)/1,5 = 2,1
Atsakymas
t = 2,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 2,241
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 78/120 = 0,65
p̂₂ = 159/300 = 0,53
p̂ = 237/420 = 0,5643
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,5643·0,4357·(1/120 + 1/300)) = 0,05356
Testo statistika
z = (0,65 − 0,53)/0,05356 = 2,241
Atsakymas
z = 2,241
|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
13.Chi kvadrato testai
Atsakymas: E = 28,1
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Tikėtinas dažnis
E = 114·53/215 = 28,1
Atsakymas
E = 28,1
14.Chi kvadrato testai
Atsakymas: χ²crit = 9,488
Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.
Laisvės laipsniai
df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4
Lentelė
χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488
Atsakymas
χ²crit = 9,488
H₀ atmeskite, jei apskaičiuotas χ² didesnis už šią reikšmę.
ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice