AP Statistics uždaviniai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Chi kvadrato testai

Testo statistika: χ² = Σ(O − E)²/E
Suderinamumo kriterijus: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Nepriklausomumas: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritinės reikšmės (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Sprendimas: atmeskite H₀, jei χ² > χ²_crit

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 60, 52, 45, 54, 54.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 70?

μ = 50σ = 10x = 70

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,3

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €1. Laimite €2 su tikimybe 0,25 ir €10 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €1€2: p = 0,25€10: p = 0,02

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9715. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9715

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

8.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 13?

n = 5ŷ = 13

x =

9.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 89,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 15 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 88 h, žinomas standartinis nuokrypis 10 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 80x̄₁ = 89,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 50x̄₂ = 88 hσ₂ = 10 h99%

apatinis rėžis = h

10.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 17 kg, standartinis nuokrypis 8 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 21 kg, standartinis nuokrypis 9 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 5x̄₁ = 17s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 21s₂ = 995%t(10) = 2,228

viršutinis rėžis = kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 65,7, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 65,7s = 12n = 16

t =

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 190%

n =

13.Chi kvadrato testaiVidutinis

Kryžminėje lentelėje pateikti stebėti dažniai. Apskaičiuokite eilučių ir stulpelių kintamųjų nepriklausomumo testo chi kvadrato statistiką χ². Tolydumo pataisos nenaudokite.

N = 1602 × 3

χ² =

14.Chi kvadrato testaiSunkus

Chi kvadrato suderinamumo testas palygina stebėtus dažnius 3 kategorijose su visiškai nurodytomis tikėtinomis dalimis (jokie parametrai iš duomenų nevertinami). Kiek laisvės laipsnių df turi testas?

k = 3

df =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 5,385

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 265/5 = 53

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 7² + (−1)² + (−8)² + 1² + 1² = 116

Standartinis nuokrypis

s = √(116/4) = 5,385

Atsakymas

s = 5,385

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,02275

Standartizuokite

z = 2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,347

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,3 = 1,45

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,3 = 3,45

Dispersija

Var(X) = 3,45 − 1,45² = 1,347

Atsakymas

Var(X) = 1,347

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = −0,3 €

Grynosios baigtys

G: 1 (p = 0,25), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)

Laukiamoji vertė

E(G) = 1·0,25 + 9·0,02 − 1·0,73 = −0,3 €

Atsakymas

E(G) = −0,3 €

Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,19

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9715)/2 = 0,9857

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9857 ir nuskaitykite z.

z = 2,19

Atsakymas

z = 2,19

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9207

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Atsakymas

P = 0,9207

7.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,686

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 238/5 = 47,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 131,2

Determinacijos koeficientas

r² = 60²/(40·131,2) = 0,686

Atsakymas

r² = 0,686

Apie 68,6% y kitimo paaiškinama tiese.

8.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 4,273

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 79/5 = 15,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

Regresijos tiesė

b = −22/10 = −2,2

a = 15,8 − (−2,2)·3 = 22,4

ŷ = 22,4 − 2,2·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (13 − 22,4)/(−2,2) = 4,273

Atsakymas

x = 4,273

9.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −4,151 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 89,5 − 88 = 1,5

Standartinė paklaida

SE = √(15²/80 + 10²/50) = 2,194

Paklaidos riba

E = 2,576·2,194 = 5,651

Intervalas

1,5 ± 5,651 → [−4,151, 7,151]

Atsakymas

apatinis rėžis = −4,151 h

Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.

10.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 7,238 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (4·8² + 6·9²)/10 = 74,2

s_p = 8,614

Paklaidos riba

E = 2,228·8,614·√(1/5 + 1/7) = 11,24

Intervalas

−4 ± 11,24 → [−15,24, 7,238]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 7,238 kg

11.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −3,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Testo statistika

t = (65,7 − 75)/3 = −3,1

Atsakymas

t = −3,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

12.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 174

Išreikškite n

n = (1,645·8/1)² = 173,2

Apvalinkite aukštyn

n = 174

Atsakymas

n = 174

13.Chi kvadrato testai

Atsakymas: χ² = 14,6

Chi kvadrato testai: stebėtus dažnius O palyginkite su pagal H₀ tikėtinais dažniais E naudodami χ² = Σ(O − E)²/E. Suderinamumo kriterijus: kiekvienai kategorijai E = n·p, df = k − 1 (ir dar minus vienas už kiekvieną iš duomenų įvertintą parametrą). Nepriklausomumas r × c lentelėje: E = eilutės suma × stulpelio suma / bendra suma, df = (r − 1)(c − 1). H₀ atmeskite, kai χ² viršija pasirinktą α atitinkančią kritinę reikšmę.

Tikėtini dažniai

miesto: 120·80/160 = 60, 120·40/160 = 30, 120·40/160 = 30

kaimo: 40·80/160 = 20, 40·40/160 = 10, 40·40/160 = 10

Chi kvadrato statistika

χ² = (65 − 60)²/60 + (21 − 30)²/30 + (34 − 30)²/30 + (15 − 20)²/20 + (19 − 10)²/10 + (6 − 10)²/10

χ² = 14,6

Atsakymas

χ² = 14,6

df = 2. Kai α = 0,05, kritinė reikšmė yra 5,991, todėl H₀ (nepriklausomumas) atmetama.

14.Chi kvadrato testai

Atsakymas: df = 2

Laisvės laipsniai

df = 3 − 1 = 2

Atsakymas

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice