Po 9 metų jums reikės €50 000. Sąskaita moka 6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €50 0006% / 4n = 9
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€12 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 5 metus. Palūkanų norma – 5,4 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €12 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €50 000, tarnauja 5 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €4 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 5%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €50 000M = €4 000n = 5r = 5%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €15 000, €18 000, €15 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 18 000CF3 = 15 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 6 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 4,5%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 6,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 4,5%n = 6y0 = 5%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 7 metų. Ji parduodama už €815. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 4,5% (2×)n = 7P = €815
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €10 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 10%, skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 30%. Raskite WACC.
Įmonė turi 4 000 000 akcijų po €56,50 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €980. Skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 1,5, nerizikinga palūkanų norma – 4%, rinkos grąža – 8,5%. Raskite WACC.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9127. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9127
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 9,5, o standartinis nuokrypis 5,7. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 15d̄ = 9,5sd = 5,795%t(14) = 2,145
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 12E = 195%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 80 detalių imties vidutinis ilgis 144,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 6 mm. 2 linija: 80 detalių imties vidurkis 137,3 mm, žinomas standartinis nuokrypis 20 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 92,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 92,5σ = 15n = 2599%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3, 0). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(3, 0)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 29254 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·9 = 36
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,709 = €29 254,49
Atsakymas
PV = €29 254,49
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 228,7 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·5 = 60
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,7638
A = 12 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €228,66
Atsakymas
A = €228,66
3.NPV ir IRR
Atsakymas: EAC = 15549 €
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,05−5)/0,05 = 4,329
Metinė pirkimo kainos dalis
50 000/4,329 = 11 548,74
EAC
EAC = 11 548,74 + 4 000 = €15 548,74
Atsakymas
EAC = €15 548,74
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 41,14 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(40%) = 364,43
NPV(45%) = −1 173,68
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €22,50, N = 14
Skaitinis sprendimas
i = 4,002% per pusmetį
YTM
YTM = 2·4,002% = 8,003%
Atsakymas
YTM = 8,003%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,143 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·10% + 0,2857·5%·(1 − 0,3) = 8,143%
Atsakymas
WACC = 8,143%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,782 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 28
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
Atsakymas
N = 28
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 0,6016
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,55, Var(X) = 1,447, σX = 1,203
Tiesinis pokytis
σY = |0,5|·1,203 = 0,6016
Atsakymas
σY = 0,6016
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·2,55 + 5 = 6,275.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,71
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9127)/2 = 0,9564
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9564 ir nuskaitykite z.
z = 1,71
Atsakymas
z = 1,71
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7881
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standartizuokite
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 3,157 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 14, t = 2,145
Paklaidos riba
E = 2,145·5,7/√15 = 3,157
Atsakymas
E = 3,157 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 554
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·12/1)² = 553,2
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 554
Atsakymas
n = 554
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 3,084
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 84,77
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·15/√25 = 7,728
Intervalo rėžis
L = 92,5 − 7,728 = 84,77
Atsakymas
L = 84,77
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9572
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 11344 − 105·532/5 = 172
Sxx = 2245 − 105²/5 = 40
Syy = 57412 − 532²/5 = 807,2
Koreliacijos koeficientas
r = 172/√(40·807,2) = 0,9572
Atsakymas
r = 0,9572
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −4,8
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 48/5 = 9,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Regresijos tiesė
b = 64/40 = 1,6
a = 9,6 − 1,6·6 = 0
ŷ = 0 + 1,6·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 0 + 1,6·3 = 4,8
Liekana
e = 0 − 4,8 = −4,8
Atsakymas
e = −4,8
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.