Investuojate €12 000 esant 3 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 7 metų.
PV = €12 0003% / 12n = 7
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 20 metų įnešate €2 500, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 8% per metus. Kiek bus sąskaitoje 20-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €2 500i = 8%n = 20
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€20 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €8 000, €5 000, €9 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas A kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €21 000, €16 000, €9 500. Projektas B kainuoja €45 000 ir grąžina po €12 000, €18 000, €23 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 8 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 7% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 2%YTM = 7%n = 8
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 15 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%), parduodama už €1 111. Emitentas gali ją išpirkti po 4 metų už €1 050 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 5%P = €1 111išpirkimo kaina = €1 050išpirkimas po 4 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 1,5, reikalaujama grąža 12,25%. Nerizikinga norma 4%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 1,5re = 12,25%rf = 4%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 5 000 000 akcijų po €46,50 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 0,9, nerizikinga palūkanų norma – 1%, rinkos grąža – 5%. Raskite WACC.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0336. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,0336
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 25 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 21. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 21E = 199%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 48,2, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,2s = 12n = 36
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 200 prieš H₁: μ < 200 atliekamas, kai α = 0.05, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 15. Iš tikrųjų vidurkis lygus 197. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 200μ = 197σ = 15n = 36α = 0,05
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 30Σy = 86Σx² = 220Σy² = 1716Σxy = 612
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 76?
n = 5ŷ = 76
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 14800 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,08)20 − 1)/0,08 = 45,76
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 2 500·45,76·1,08 = €123 557,30
Atsakymas
FV = €123 557,30
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −446,3 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 8 000/1,06 = 7 547,17
CF2/(1 + 0,06)2 = 5 000/1,124 = 4 449,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 9 000/1,191 = 7 556,57
Sudėkite
NPV = €−446,27
Atsakymas
NPV = €−446,27
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 6,155 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 12 000 − 21 000 = −9 000
ΔCF2 = 18 000 − 16 000 = 2 000
ΔCF3 = 23 500 − 9 500 = 14 000
Skirtumo IRR
NPVΔ(6%) = 44,10
NPVΔ(7%) = −236,17
r* = 6,155%
Atsakymas
r* = 6,155%
Patikra: esant 6,155%, abi NPV lygios €1 922,55.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 697,6 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €10,00, i = 0,035, N = 16
Kuponų dabartinė vertė
€10,00·(1 − 0,5767)/0,035 = €120,94
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5767 = €576,71
Kaina
P = €697,65
Atsakymas
P = €697,65
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTC = 3,192 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1111 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Skaitinis sprendimas
y = 3%: €1 118,77
y = 4%: €1 079,04
YTC = 3,192%
Atsakymas
YTC = 3,192%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 4,002%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 9,5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (12,25% − 4%)/1,5 = 5,5%
Rinkos grąža
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Atsakymas
rm = 9,5%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 4,749 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 5 000 000·€46,50 = €232 500 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1% + 0,9·4% = 4,6%
Svoriai
V = €273 300 000, E/V = 0,8507, D/V = 0,1493
WACC
WACC = 0,8507·4,6% + 0,1493·7%·(1 − 0,2) = 4,749%
Atsakymas
WACC = 4,749%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,51
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 190/5 = 38
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 2² + (−18)² + 21² + (−8)² + 3² = 842
Standartinis nuokrypis
s = √(842/4) = 14,51
Atsakymas
s = 14,51
10.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,8413
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 20
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
Atsakymas
N = 20
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 0,6016
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,0336 = 0,9664
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9664 ir nuskaitykite z.
z = 1,83
Atsakymas
z = 1,83
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 246,7 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,25
z iš lentelės
z ≈ −0,67
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g
Atsakymas
x = 246,7 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 109,6
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Paklaidos riba
E = 1,833·2,5/√10 = 1,449
Intervalas
111 ± 1,449 → [109,6, 112,4]
Atsakymas
apatinis rėžis = 109,6
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 2927
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·21/1)² = 2926
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 2927
Atsakymas
n = 2927
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −0,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 32,82 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 200 − 1,645·2,5 = 195,9
z esant tikrajam vidurkiui
z = (195,9 − 197)/2,5 = −0,445
Galia
galia = P(Z < −0.445) = 32.82%
1 − β = 32,82%
Atsakymas
1 − β = 32,82%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9864
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 612 − 30·86/5 = 96
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1716 − 86²/5 = 236,8
Koreliacijos koeficientas
r = 96/√(40·236,8) = 0,9864
Atsakymas
r = 0,9864
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 6,023
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 401/5 = 80,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
Regresijos tiesė
b = 172/40 = 4,3
a = 80,2 − 4,3·7 = 50,1
ŷ = 50,1 + 4,3·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (76 − 50,1)/4,3 = 6,023
Atsakymas
x = 6,023
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.