Investuojate €1 000 esant 6% metinei normai su tolydžiuoju kapitalizavimu. Raskite vertę FV po 11 metų.
PV = €1 000r = 6%t = 11
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€15 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 5 metus. Palūkanų norma – 7,2 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €15 0007,2% / 12N = 60
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €34 000, €30 000, €24 000, €24 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €8 000, €11 500, €14 000. Pinigų srautus galima reinvestuoti 8 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 8 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 9% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4,5%YTM = 9%n = 8
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 16 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%), parduodama už €1 169. Emitentas gali ją išpirkti po 3 metų už €1 060 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 6%P = €1 169išpirkimo kaina = €1 060išpirkimas po 3 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €4 000 000, o skola – €4 000 000. Jos WACC 8,8%, skolos kaina prieš mokesčius 4,5%, o mokesčio tarifas 20%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,8. Ji planuoja 0,4 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 25,8%, nerizikinga norma 4%, o rinkos rizikos premija 7%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 52?
μ = 50σ = 5x = 52
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,25
σ =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?
n = 12p = 0,3k = 1
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,6372. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,6372
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 9,4, o standartinis nuokrypis 1,7. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 16d̄ = 9,4sd = 1,799%t(15) = 2,947
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 37. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?
σ = 37E = 595%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 97, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 97s = 10n = 36
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ > 50 atliekamas, kai α = 0,10, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 30. Iš tikrųjų vidurkis lygus 53,6. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.
μ₀ = 50μ = 53,6σ = 30n = 100α = 0,10
β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 20Σy = 291Σx² = 90Σy² = 17173Σxy = 1210
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 1935 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laipsnio rodiklis
r·t = 0,06·11 = 0,66
e0,66 = 1,935
Būsimoji vertė
FV = 1 000·1,935 = €1 934,79
Atsakymas
FV = €1 934,79
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 298,4 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·5 = 60
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,6984
A = 15 000·0,006/(1 − 0,6984) = €298,44
Atsakymas
A = €298,44
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 18894 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 34 000/1,08 = 31 481,48
CF2/(1 + 0,08)2 = 30 000/1,166 = 25 720,16
CF3/(1 + 0,08)3 = 24 000/1,26 = 19 051,97
CF4/(1 + 0,08)4 = 24 000/1,36 = 17 640,72
Sudėkite
NPV = €18 894,34
Atsakymas
NPV = €18 894,34
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 12,66 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
8 000·1,082 = 9 331,20
11 500·1,081 = 12 420,00
14 000·1,080 = 14 000,00
TV = 35 751,20
MIRR
MIRR = (35 751,20/25 000)1/3 − 1 = 12,66%
Atsakymas
MIRR = 12,66%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 747,2 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €22,50, i = 0,045, N = 16
Kuponų dabartinė vertė
€22,50·(1 − 0,4945)/0,045 = €252,77
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,4945 = €494,47
Kaina
P = €747,23
Atsakymas
P = €747,23
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTC = 2,089 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1169 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
Skaitinis sprendimas
y = 2%: €1 171,89
y = 3%: €1 139,77
YTC = 2,089%
Atsakymas
YTC = 2,089%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 4,496%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 14 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC skolos dalis
0,5·4,5%·(1 − 0,2) = 1,8%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (8,8% − 1,8%)/0,5 = 14%
Atsakymas
re = 14%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 11,26 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 0,8·(1 + 0,742·0,4) = 1,037
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 4% + 1,037·7% = 11,26%
Atsakymas
re = 11,26%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11,33
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Atsakymas
P = 0,3446
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,166
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,25 = 2,2
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,25 = 6,2
Dispersija
Var(X) = 6,2 − 2,2² = 1,36
σ = √1,36 = 1,166
Atsakymas
σ = 1,166
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,07118
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,6372)/2 = 0,8186
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,8186 ir nuskaitykite z.
z = 0,91
Atsakymas
z = 0,91
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 22,13 min
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Atgal į x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Atsakymas
x = 22,13 min
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 1,252 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 15, t = 2,947
Paklaidos riba
E = 2,947·1,7/√16 = 1,252
Atsakymas
E = 1,252 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 211
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·37/5)² = 210,4
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 211
Atsakymas
n = 211
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,8
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: β = 53,27 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 50 + 1,282·3 = 53,85
z esant tikrajam vidurkiui
z = (53,85 − 53,6)/3 = 0,082
II rūšies klaida
galia = P(Z > 0,082) = 46,73%
β = 100% − 46,73% = 53,27%
Atsakymas
β = 53,27%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9453
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 1210 − 20·291/5 = 46
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 17173 − 291²/5 = 236,8
Koreliacijos koeficientas
r = 46/√(10·236,8) = 0,9453
Atsakymas
r = 0,9453
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 36,61
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 232/6 = 38,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36
Regresijos tiesė
b = 36/17,5 = 2,057
a = 38,67 − 2,057·5,5 = 27,35
ŷ = 27,35 + 2,057·x
Prognozė
ŷ = 27,35 + 2,057·4,5 = 36,61
Atsakymas
ŷ = 36,61
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.