Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €6 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 4% per metus. Reikalaujama grąža 6% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €6 000g = 4%r = 6%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 20 metus atidedate €100. Sąskaita moka 2,4 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1002,4% / 12N = 240
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€20 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €9 000, €8 000, €6 000, €4 000. Kapitalo kaina – 5 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €20 000, €17 000, €26 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −40 000CF1 = 20 000CF2 = 17 000CF3 = 26 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 6% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4,5%YTM = 6%n = 4
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 4%, išperkama po 4 metų ir parduodama už €965. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 4%n = 4P = €965
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €8 000 000, o skola – €4 000 000. Jos WACC 6,05%, skolos kaina prieš mokesčius 3%, o mokesčio tarifas 28%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Esant dabartiniam skolos ir nuosavo kapitalo santykiui 0,5, įmonės akcijų beta 1,2. Ji planuoja padidinti skolos ir nuosavo kapitalo santykį iki 1,5. Mokesčio tarifas 20%, nerizikinga norma 1,5%, o rinkos rizikos premija 7%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re po pakeitimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 50. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 575?
μ = 500σ = 50x = 575
P =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 5 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 5
P =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €1. Laimite €3 su tikimybe 0,15 ir €50 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €1€3: p = 0,15€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 244,25 ir 259,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 259,25
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 60 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 25. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
σ = 25E = 295%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 500; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 2,5. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 499,38. Tikrinkite H₀: μ = 500 prieš H₁: μ < 500. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 500σ = 2,5n = 25x̄ = 499,38H₁: μ < μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 12. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3.
n = 5x = 3
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 300000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 9 000/1,05 = 8 571,43
CF2/(1 + 0,05)2 = 8 000/1,103 = 7 256,24
CF3/(1 + 0,05)3 = 6 000/1,158 = 5 183,03
CF4/(1 + 0,05)4 = 4 000/1,216 = 3 290,81
Sudėkite
NPV = €4 301,50
Atsakymas
NPV = €4 301,50
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 25,72 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 448,00
NPV(30%) = −2 494,31
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €22,50, i = 0,03, N = 8
Kuponų dabartinė vertė
€22,50·(1 − 0,7894)/0,03 = €157,94
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,7894 = €789,41
Kaina
P = €947,35
Atsakymas
P = €947,35
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 4,987 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€965 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Skaitinis sprendimas
P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €964,54
YTM = 4,987%
Atsakymas
YTM = 4,987%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 7,995 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC skolos dalis
0,3333·3%·(1 − 0,28) = 0,72%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (6,05% − 0,72%)/0,6667 = 7,995%
Atsakymas
re = 7,995%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 14,7 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Pašalinkite skolos poveikį beta
βU = 1,2/(1 + 0,8·0,5) = 0,8571
Perskaičiuokite su nauju D/E
βL = 0,8571·(1 + 0,8·1,5) = 1,886
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1,5% + 1,886·7% = 14,7%
Atsakymas
re = 14,7%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,95
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5981
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Atsakymas
P = 0,5981
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = −0,05 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 2 (p = 0,15), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,84)
Laukiamoji vertė
E(G) = 2·0,15 + 49·0,01 − 1·0,84 = −0,05 €
Atsakymas
E(G) = −0,05 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8428
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85
Plotas tarp
P = Φ(1,85) − Φ(−1,15) = 0,9678 − 0,1251 = 0,8428
Atsakymas
P = 0,8428
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 251,3 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,6
z iš lentelės
z ≈ 0,25
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g
Atsakymas
x = 251,3 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 71,43
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Paklaidos riba
E = 2,845·1,5/√21 = 0,9312
Intervalas
70,5 ± 0,9312 → [69,57, 71,43]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 71,43
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 601
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·25/2)² = 600,3
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 601
Atsakymas
n = 601
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,1075
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5
z = (499,38 − 500)/0,5 = −1,24
Uodegos plotas
Φ(1,24) = 0,8925
1 − Φ(1,24) = 0,1075
p reikšmė
p = 0,1075
Atsakymas
p = 0,1075
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 142
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,645)·12/4)² = 141,9
Apvalinkite aukštyn
n = 142
Atsakymas
n = 142
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,5637
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 268/5 = 53,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 149,2
Determinacijos koeficientas
r² = 29²/(10·149,2) = 0,5637
Atsakymas
r² = 0,5637
Apie 56,37% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 44,75
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 292/5 = 58,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182
Regresijos tiesė
b = 182/40 = 4,55
a = 58,4 − 4,55·6 = 31,1
ŷ = 31,1 + 4,55·x
Prognozė
ŷ = 31,1 + 4,55·3 = 44,75
Atsakymas
ŷ = 44,75
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.