Po 2 metų jums reikės €50 000. Sąskaita moka 6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €50 0006% / 12n = 2
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€250 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 25 metų, esant 5,4% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 3-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.
P = €250 0005,4% / 12N = 300k = 36
B = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €40 000, tarnauja 8 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €5 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 5%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 8r = 5%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €10 500, €14 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −20 000CF1 = 10 500CF2 = 14 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 15 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 151, kai pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 15P = €1 151YTM = 5,5%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 8%, išperkama po 3 metų ir parduodama už €960. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 3P = €960
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 1,5, reikalaujama grąža 9,25%. Nerizikinga norma 2,5%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 1,5re = 9,25%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 1 000 000 akcijų, kurių kaina €51,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €30 900 000. Ji ką tik išmokėjo €2,70 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 4% per metus. Jos skolos rinkos vertė €15 500 000, o kaina prieš mokesčius 6%. Mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 88 z įvertį z.
μ = 100σ = 15x = 88
z =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 4 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 4
P =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 5 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?
n = 5p = 0,2k = 3
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 9 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 227,3 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9< 227.3 kg
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 30 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.30%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
11 elementų imties vidurkis – 111,5, standartinis nuokrypis s = 10,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 11x̄ = 111,5s = 10,599%t(10) = 3,169
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
σ = 15E = 299%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 50; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 36. Atsitiktinės 144 stebėjimų imties vidurkis 54,8. Tikrinkite H₀: μ = 50 prieš H₁: μ > 50. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 50σ = 36n = 144x̄ = 54,8H₁: μ > μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ < 50 atliekamas, kai α = 0.01, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 24. Iš tikrųjų vidurkis lygus 41. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.
μ₀ = 50μ = 41σ = 24n = 64α = 0,01
β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 55?
n = 6ŷ = 55
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 44359 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·2 = 24
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,127 = €44 359,28
Atsakymas
PV = €44 359,28
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: B = 234588 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.
N − k = 300 − 36 = 264
B = 1520·(1 − (1 + 0,0045)−264)/0,0045 = €234 588,22
Atsakymas
B = €234 588,22
3.NPV ir IRR
Atsakymas: EAC = 11189 €
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,05−8)/0,05 = 6,463
Metinė pirkimo kainos dalis
40 000/6,463 = 6 188,87
EAC
EAC = 6 188,87 + 5 000 = €11 188,87
Atsakymas
EAC = €11 188,87
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 15,35 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(15%) = 94,52
NPV(20%) = −1 180,56
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 15 + 5·94,52/(94,52 − (−1 180,56)) = 15,37%
tiksliai: NPV(15,35%) = 0 → IRR = 15,35%
Atsakymas
IRR = 15,35%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 7,004 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,055)−15 = €447,93
Kuponas
C = (1151 − 447,93)/10,04 = €70,04
Kupono norma
c = 70,04/1000 = 7,004%
Atsakymas
c = 7,004%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 9,597 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€960 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Skaitinis sprendimas
P(9%) = €974,69, P(10%) = €950,26
YTM = 9,597%
Atsakymas
YTM = 9,597%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 7 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (9,25% − 2,5%)/1,5 = 4,5%
Rinkos grąža
rm = 2,5% + 4,5% = 7%
Atsakymas
rm = 7%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,237 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (88 − 100)/15 = −0,8
Atsakymas
z = −0,8
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5177
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Atsakymas
P = 0,5177
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,0512
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 3) = 10·0,23·0,82 = 10·0,008·0,64 = 0,0512
Atsakymas
P = 0,0512
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,937
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg
Standartizuokite
z = (227,3 − 225)/1,5 = 1,53
Tikimybė
P = Φ(1,53) = 0,937
Atsakymas
P = 0,937
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 70,2 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 65 + 0,52·10 = 70,2 tšk.
Atsakymas
x = 70,2 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 10,03
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Paklaidos riba
E = 3,169·10,5/√11 = 10,03
Atsakymas
E = 10,03
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 374
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·15/2)² = 373,3
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 374
Atsakymas
n = 374
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,0548
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (54,8 − 50)/3 = 1,6
Uodegos plotas
Φ(1,6) = 0,9452
1 − Φ(1,6) = 0,0548
p reikšmė
p = 0,0548
Atsakymas
p = 0,0548
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: β = 25,02 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 50 − 2,326·3 = 43,02
z esant tikrajam vidurkiui
z = (43,02 − 41)/3 = 0,674
II rūšies klaida
galia = P(Z < 0.674) = 74.98%
β = 100% − 74,98% = 25,02%
Atsakymas
β = 25,02%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9555
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 434/5 = 86,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1313
Determinacijos koeficientas
r² = 224²/(40·1313) = 0,9555
Atsakymas
r² = 0,9555
Apie 95,55% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 6,203
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 325/6 = 54,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 287
Regresijos tiesė
b = 287/70 = 4,1
a = 54,17 − 4,1·6 = 29,57
ŷ = 29,57 + 4,1·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (55 − 29,57)/4,1 = 6,203
Atsakymas
x = 6,203
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.