Po 10 metų jums reikės €10 000. Sąskaita moka 3 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €10 0003% / 4n = 10
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 20 metų, esant 2,4% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 3-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.
P = €150 0002,4% / 12N = 240k = 36
B = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€20 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €10 000, €8 000, €8 000, €9 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €11 500, €7 500, €11 500. Pinigų srautus galima reinvestuoti 12 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 4 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 149, kai pajamingumas iki išpirkimo 3%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 4P = €1 149YTM = 3%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 4%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €895. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 4%n = 9P = €895
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €2 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €5 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €22,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 21%. Akcijos beta koeficientas – 0,8, nerizikinga palūkanų norma – 1,5%, rinkos grąža – 7,5%. Raskite WACC.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0548. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,0548
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 85 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −7,58, o skirtumų standartinis nuokrypis 7,1. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = −7,58sd = 7,1
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 8E = 290%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 7416 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·10 = 40
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,348 = €7 416,48
Atsakymas
PV = €7 416,48
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: B = 131819 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesinė įmoka
i = 0,002, N = 240
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−240) = €787,57
Likusių įmokų dabartinė vertė
Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.
N − k = 240 − 36 = 204
B = 787,6·(1 − (1 + 0,002)−204)/0,002 = €131 819,09
Atsakymas
B = €131 819,09
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 10400 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 10 000/1,06 = 9 433,96
CF2/(1 + 0,06)2 = 8 000/1,124 = 7 119,97
CF3/(1 + 0,06)3 = 8 000/1,191 = 6 716,95
CF4/(1 + 0,06)4 = 9 000/1,262 = 7 128,84
Sudėkite
NPV = €10 399,73
Atsakymas
NPV = €10 399,73
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 19,73 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
11 500·1,122 = 14 425,60
7 500·1,121 = 8 400,00
11 500·1,120 = 11 500,00
TV = 34 325,60
MIRR
MIRR = (34 325,60/20 000)1/3 − 1 = 19,73%
Atsakymas
MIRR = 19,73%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 7,009 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,03)−4 = €888,49
Kuponas
C = (1149 − 888,49)/3,717 = €70,09
Kupono norma
c = 70,09/1000 = 7,009%
Atsakymas
c = 7,009%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 5,511 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €928,92, P(6%) = €863,97
YTM = 5,511%
Atsakymas
YTM = 5,511%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,686 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143
WACC
WACC = 0,2857·12% + 0,7143·4%·(1 − 0,21) = 5,686%
Atsakymas
WACC = 5,686%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,567 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Atsakymas
P = 0,06681
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,64
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 26,5, Var(X) = 102,8, σX = 10,14
Tiesinis pokytis
σY = |5|·10,14 = 50,68
Atsakymas
σY = 50,68
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·26,5 + 5 = 137,5.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,6
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,0548 = 0,9452
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9452 ir nuskaitykite z.
z = 1,60
Atsakymas
z = 1,60
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 170,7 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,15
z iš lentelės
z ≈ −1,04
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm
Atsakymas
x = 170,7 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 87,95
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Paklaidos riba
E = 3,055·20/√13 = 16,95
Intervalas
71 ± 16,95 → [54,05, 87,95]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 87,95
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 7,916 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (11·2,5² + 13·9,5²)/24 = 51,75
sp = 7,194
Paklaidos riba
E = 2,797·7,194·√(1/12 + 1/14) = 7,916
Atsakymas
E = 7,916 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,698
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 7,1/√12 = 2,05
Testo statistika
t = −7,58/2,05 = −3,698
Atsakymas
t = −3,698
Kai df = 11, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,201; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 44
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·8/2)² = 43,3
Apvalinkite aukštyn
n = 44
Atsakymas
n = 44
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9877
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 303/5 = 60,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 187,2
Determinacijos koeficientas
r² = 43²/(10·187,2) = 0,9877
Atsakymas
r² = 0,9877
Apie 98,77% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 12,01
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 142/6 = 23,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204
Regresijos tiesė
b = 204/70 = 2,914
a = 23,67 − 2,914·7 = 3,267
ŷ = 3,267 + 2,914·x
Prognozė
ŷ = 3,267 + 2,914·3 = 12,01
Atsakymas
ŷ = 12,01
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.