Po 4 metų jums reikės €25 000. Sąskaita moka 6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €25 0006% / 4n = 4
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€25 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 5 metų, esant 7,2% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?
P = €25 0007,2% / 12N = 60
I = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €60 000 ir kiekvienų metų pabaigoje 5 metų grąžina €19 500. Kapitalo kaina 12 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €9 500, €11 000, €9 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 11 000CF3 = 9 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 6 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4%YTM = 3,5%n = 6
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 8 metų. Ji parduodama už €698. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 2% (2×)n = 8P = €698
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 1,5. Jos nuosavo kapitalo kaina 11%, skolos kaina prieš mokesčius 5%, o mokesčio tarifas 21%. Raskite WACC.
D/E = 1,5re = 11%rd = 5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €26,00 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 000. Skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 25,8%. Akcijos beta koeficientas – 0,6, nerizikinga palūkanų norma – 1%, rinkos grąža – 6%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 167,5?
μ = 170σ = 5x = 167,5
P =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 5 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 5
P =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?
n = 11p = 0,4k = 2
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9768. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9768
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,1. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?
p ≈ 0,1E = 0,0290%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
9 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −12,58, o skirtumų standartinis nuokrypis 11,1. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = −12,58sd = 11,1
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 197,4. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 197,4σ = 12n = 2590%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 7.
n = 6x = 7
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 19701 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·4 = 16
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,269 = €19 700,78
Atsakymas
PV = €19 700,78
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: I = 4844 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesinė įmoka
i = 0,006, N = 60
A = 25 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−60) = €497,39
Iš viso palūkanų
I = N·A − P = 60·497,4 − 25 000 = €4 843,54
Atsakymas
I = €4 843,54
3.NPV ir IRR
Atsakymas: DPB = 4,07 metai
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 19 500/1,12 = 17 410,71 → Σ = 17 410,71
metai 2: 19 500/1,254 = 15 545,28 → Σ = 32 955,99
metai 3: 19 500/1,405 = 13 879,71 → Σ = 46 835,71
metai 4: 19 500/1,574 = 12 392,60 → Σ = 59 228,31
metai 5: 19 500/1,762 = 11 064,82 → Σ = 70 293,14
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 4 + 771,69/11 064,82 = 4,07
Atsakymas
DPB = 4,07 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,077 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 23,33 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 1 053,24
NPV(25%) = −496,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, i = 0,0175, N = 12
Kuponų dabartinė vertė
€20,00·(1 − 0,8121)/0,0175 = €214,79
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,8121 = €812,06
Kaina
P = €1 026,85
Atsakymas
P = €1 026,85
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 6,993 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €10,00, N = 16
Skaitinis sprendimas
i = 3,496% per pusmetį
YTM
YTM = 2·3,496% = 6,993%
Atsakymas
YTM = 6,993%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,77 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·11% + 0,6·5%·(1 − 0,21) = 6,77%
Atsakymas
WACC = 6,77%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 3,551 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 1 000 000·€26,00 = €26 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1% + 0,6·5% = 4%
Svoriai
V = €46 000 000, E/V = 0,5652, D/V = 0,4348
WACC
WACC = 0,5652·4% + 0,4348·4%·(1 − 0,258) = 3,551%
Atsakymas
WACC = 3,551%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,51
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Atsakymas
P = 0,6915
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5981
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Atsakymas
P = 0,5981
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,08868
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9768)/2 = 0,9884
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9884 ir nuskaitykite z.
z = 2,27
Atsakymas
z = 2,27
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 81,45 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Atgal į x
x = 65 + 1,645·10 = 81,45 tšk.
Atsakymas
x = 81,45 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 59,58
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Paklaidos riba
E = 2,977·9/√15 = 6,918
Intervalas
66,5 ± 6,918 → [59,58, 73,42]
Atsakymas
apatinis rėžis = 59,58
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 609
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,645²·0,1·0,9/0,02² = 608,9
Apvalinkite aukštyn
n = 609
Atsakymas
n = 609
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,4
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 11,1/√9 = 3,7
Testo statistika
t = −12,58/3,7 = −3,4
Atsakymas
t = −3,4
Kai df = 8, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,306; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 201,3
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·12/√25 = 3,948
Intervalo rėžis
U = 197,4 + 3,948 = 201,3
Atsakymas
U = 201,3
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9952
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 101/5 = 20,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Syy = Σ(y − ȳ)² = 398,8
Determinacijos koeficientas
r² = 126²/(40·398,8) = 0,9952
Atsakymas
r² = 0,9952
Apie 99,52% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 24,17
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 145/6 = 24,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 207
Regresijos tiesė
b = 207/70 = 2,957
a = 24,17 − 2,957·7 = 3,467
ŷ = 3,467 + 2,957·x
Prognozė
ŷ = 3,467 + 2,957·7 = 24,17
Atsakymas
ŷ = 24,17
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.