Po 2 metų jums reikės €5 000. Sąskaita moka 5 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €5 0005% / 4n = 2
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Po 17 metų norite turėti €20 000. Kiekvieno mėnesio pabaigoje atidedate tą pačią sumą į sąskaitą, kuri moka 4,8% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite mėnesio įnašą A.
FV = €20 0004,8% / 12N = 204
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €24 000, €15 000, €28 000. Kapitalo kaina – 9 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
€40 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 4 metų grąžina €15 500. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €40 000CF = €15 500n = 4
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 11 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 6%YTM = 5%n = 11
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą ir išperkama po 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 4YTM = 3,5%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 1,6, reikalaujama grąža 12,4%. Nerizikinga norma 2%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 1,6re = 12,4%rf = 2%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 5 000 000 akcijų, kurių kaina €17,00; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €25 500 000. Ji ką tik išmokėjo €1,40 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 3% per metus. Jos skolos rinkos vertė €85 000 000, o kaina prieš mokesčius 5%. Mokesčio tarifas 28%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 100. Raskite rezultato 600 z įvertį z.
μ = 500σ = 100x = 600
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 6p = 0,4
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9488. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9488
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).
μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 50 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,5. Kokia yra tų pačių duomenų 95 % intervalo paklaidos riba E₂?
90%n₁ = 50E₁ = 4,595%
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 34. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 34E = 399%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
81 studentų imties vidutinis rezultatas – 122,8, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,8s = 15n = 81
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ < 100 atliekamas, kai α = 0.01, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 3. Iš tikrųjų vidurkis lygus 99. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 100μ = 99σ = 3n = 36α = 0,01
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 126?
n = 6ŷ = 126
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 4527 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·2 = 8
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,104 = €4 526,99
Atsakymas
PV = €4 526,99
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 63,61 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 24 000/1,09 = 22 018,35
CF2/(1 + 0,09)2 = 15 000/1,188 = 12 625,20
CF3/(1 + 0,09)3 = 28 000/1,295 = 21 621,14
Sudėkite
NPV = €−18 735,31
Atsakymas
NPV = €−18 735,31
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 20,17 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−4)/i = 40 000/15 500 = 2,581
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 20%: 2,589
i = 21%: 2,54
IRR = 20,17%
Atsakymas
IRR = 20,17%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1084 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €30,00, i = 0,025, N = 22
Kuponų dabartinė vertė
€30,00·(1 − 0,5809)/0,025 = €502,96
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5809 = €580,86
Kaina
P = €1 083,83
Atsakymas
P = €1 083,83
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: D = 3,731 metai
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 50/1,035 = 48,31, t·PV = 48,31
t = 2: 50/1,071 = 46,68, t·PV = 93,35
t = 3: 50/1,109 = 45,10, t·PV = 135,29
t = 4: 1050/1,148 = 915,01, t·PV = 3 660,06
Trukmė
P = 1 055,10
D = 3 937,01/1 055,10 = 3,731
Atsakymas
D = 3,731 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 8,5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (12,4% − 2%)/1,6 = 6,5%
Rinkos grąža
rm = 2% + 6,5% = 8,5%
Atsakymas
rm = 8,5%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,541 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Nuosavo kapitalo kaina
D1 = 1,4·1,03 = €1,44
re = 1,442/17 + 0,03 = 11,48%
Rinkos vertės
E = 5 000 000·€17,00 = €85 000 000
V = €170 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11,48% + 0,5·5%·(1 − 0,28) = 7,541%
Atsakymas
WACC = 7,541%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 9,497
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (600 − 500)/100 = 1
Atsakymas
z = 1
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,6475
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Dispersija
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Atsakymas
Var(X) = 0,6475
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2333
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,66 = 0,04666
P(X = 1) = 6·0,4·0,65 = 0,1866
Sudėkite
P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333
Atsakymas
P = 0,2333
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,95
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9488)/2 = 0,9744
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9744 ir nuskaitykite z.
z = 1,95
Atsakymas
z = 1,95
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 466,3 h
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Atgal į x
x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h
Atsakymas
x = 466,34 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 5,362
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(50/50) = 1,191
Nauja paklaidos riba
E₂ = 4,5·1,191 = 5,362
Atsakymas
E₂ = 5,362
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 853
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·34/3)² = 852,3
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 853
Atsakymas
n = 853
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,68
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 37,22 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 3/√36 = 0,5
x̄c = 100 − 2,326·0,5 = 98,84
z esant tikrajam vidurkiui
z = (98,84 − 99)/0,5 = −0,326
Galia
galia = P(Z < −0.326) = 37.22%
1 − β = 37,22%
Atsakymas
1 − β = 37,22%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9505
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 90/6 = 15
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136
Syy = Σ(y − ȳ)² = 278
Determinacijos koeficientas
r² = 136²/(70·278) = 0,9505
Atsakymas
r² = 0,9505
Apie 95,05% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 28,4
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 591/6 = 98,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 733,5
Regresijos tiesė
b = 733,5/157,5 = 4,657
a = 98,5 − 4,657·22,5 = −6,286
ŷ = −6,286 + 4,657·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (126 − (−6,286))/4,657 = 28,4
Atsakymas
x = 28,4
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.