Po 3 metų jums reikės €40 000. Sąskaita moka 3,6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €40 0003,6% / 12n = 3
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 25 metus. Palūkanų norma – 3 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €150 0003% / 12N = 300
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €50 000. Kiekvienų metų pabaigoje 7 metų ji generuoja €8 000, o po to gali būti parduota už €7 500. Kapitalo kaina 8%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €50 000CF = €8 000S = €7 500n = 7r = 8%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €16 500, €11 500, €10 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 11 500CF3 = 10 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 12 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 9% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 6%YTM = 9%n = 12
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą ir išperkama po 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 7%n = 4YTM = 3,5%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €5 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 9%, skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 000 000 akcijų po €55,00 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 1,8, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 9%. Raskite WACC.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0582. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,0582
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 30 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.30%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 elementų imties vidurkis – 18, standartinis nuokrypis s = 3,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 12x̄ = 18s = 3,595%t(11) = 2,201
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 58,5 kg, standartinis nuokrypis 1,5 kg. 2 sklypų grupė: 8 sklypų, vidurkis 69 kg, standartinis nuokrypis 10 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 30Σy = 75Σx² = 220Σy² = 1301Σxy = 532
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 22?
n = 5ŷ = 22
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 35911 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·3 = 36
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,114 = €35 910,91
Atsakymas
PV = €35 910,91
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 711,3 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·25 = 300
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,4728
A = 150 000·0,0025/(1 − 0,4728) = €711,32
Atsakymas
A = €711,32
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −3973 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
8 000·5,206 = 41 650,96
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
7 500/1,714 = 4 376,18
NPV
NPV = −50 000 + 41 650,96 + 4 376,18 = −€3 972,86
Atsakymas
NPV = −€3 972,86
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 27,01 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 680,00
NPV(30%) = −951,30
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 25 + 5·680,00/(680,00 − (−951,30)) = 27,08%
tiksliai: NPV(27,01%) = 0 → IRR = 27,01%
Atsakymas
IRR = 27,01%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 782,6 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €30,00, i = 0,045, N = 24
Kuponų dabartinė vertė
€30,00·(1 − 0,3477)/0,045 = €434,86
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,3477 = €347,70
Kaina
P = €782,57
Atsakymas
P = €782,57
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: D = 3,648 metai
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 70/1,035 = 67,63, t·PV = 67,63
t = 2: 70/1,071 = 65,35, t·PV = 130,69
t = 3: 70/1,109 = 63,14, t·PV = 189,41
t = 4: 1070/1,148 = 932,44, t·PV = 3 729,77
Trukmė
P = 1 128,56
D = 4 117,51/1 128,56 = 3,648
Atsakymas
D = 3,648 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,484 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (53,2 − 50)/8 = 0,4
Atsakymas
z = 0,4
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 0,8367
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Dispersija
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
σ = √0,7 = 0,8367
Atsakymas
σ = 0,8367
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 1,158
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 3,2, Var(X) = 5,36, σX = 2,315
Tiesinis pokytis
σY = |0,5|·2,315 = 1,158
Atsakymas
σY = 1,158
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·3,2 + 5 = 6,6.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,57
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,0582 = 0,9418
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9418 ir nuskaitykite z.
z = 1,57
Atsakymas
z = 1,57
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 70,2 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 65 + 0,52·10 = 70,2 tšk.
Atsakymas
x = 70,2 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 2,224
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 11, t = 2,201
Paklaidos riba
E = 2,201·3,5/√12 = 2,224
Atsakymas
E = 2,224
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 12,7 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (5·1,5² + 7·10²)/12 = 59,27
sp = 7,699
Paklaidos riba
E = 3,055·7,699·√(1/6 + 1/8) = 12,7
Atsakymas
E = 12,7 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,583
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 245
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 1,645)·19/4)² = 244,2
Apvalinkite aukštyn
n = 245
Atsakymas
n = 245
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9773
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 532 − 30·75/5 = 82
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1301 − 75²/5 = 176
Koreliacijos koeficientas
r = 82/√(40·176) = 0,9773
Atsakymas
r = 0,9773
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 1,333
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 85/5 = 17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Regresijos tiesė
b = −30/10 = −3
a = 17 − (−3)·3 = 26
ŷ = 26 − 3·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (22 − 26)/(−3) = 1,333
Atsakymas
x = 1,333
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.