Anuitetas 7 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €5 000. Palūkanų norma 4% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €5 000i = 4%n = 7
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Pasiskolinate €5 000 esant 3,6 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €100. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.
P = €5 000A = €1003,6% / 12
N = įmokos
3.NPV ir IRRVidutinis
€30 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €6 000, €13 000, €15 000, €12 000. Kapitalo kaina – 15 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €6 000, €5 000, €4 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 5 000CF3 = 4 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą ir išperkama po 8 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 2,5% iki 3,5%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 8%n = 8y1 = 2,5%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija parduodama už €1 080, jos pajamingumas iki išpirkimo 4% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 5,5 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas sumažėja 50 baziniais punktais.
P0 = €1 080y = 4%D = 5,5Δy = −50 bp
P = €
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €3 000 000, o skola – €3 000 000. Jos WACC 7,88%, skolos kaina prieš mokesčius 5%, o mokesčio tarifas 25%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonė turi 5 000 000 akcijų po €52,00 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 1,8, nerizikinga palūkanų norma – 3,5%, rinkos grąža – 9%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 30?
μ = 50σ = 10x = 30
P =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 6 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 6
P =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,25, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?
n = 12p = 0,25k = 1
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 49,5 ir 75,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 65σ = 10x1 = 49,5x2 = 75,5
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 75 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.75%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
10 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 4,5, o standartinis nuokrypis 4,4. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 10d̄ = 4,5sd = 4,495%t(9) = 2,262
apatinis rėžis = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 36,5 kg, standartinis nuokrypis 7 kg. 2 sklypų grupė: 6 sklypų, vidurkis 38,5 kg, standartinis nuokrypis 4 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 1,04, o skirtumų standartinis nuokrypis 2. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 1,04sd = 2
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
81 matavimų imties vidurkis – 199. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 199σ = 4n = 8199%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 22?
n = 6ŷ = 22
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 30010 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7599)/0,04 = 6,002
Dabartinė vertė
PV = 5 000·6,002 = €30 010,27
Atsakymas
PV = €30 010,27
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: N = 55 įmokos
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pertvarkykite anuiteto formulę
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,003/100 = 0,85
Spręskite logaritmais
N = −ln(0,85)/ln(1,003) = 54,25
Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų
Po 54 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.
N = 55
Atsakymas
N = 55 įmokos
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 1771 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 6 000/1,15 = 5 217,39
CF2/(1 + 0,15)2 = 13 000/1,322 = 9 829,87
CF3/(1 + 0,15)3 = 15 000/1,521 = 9 862,74
CF4/(1 + 0,15)4 = 12 000/1,749 = 6 861,04
Sudėkite
NPV = €1 771,04
Atsakymas
NPV = €1 771,04
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 25,35 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 48,00
NPV(30%) = −605,37
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 25 + 5·48,00/(48,00 − (−605,37)) = 25,37%
tiksliai: NPV(25,35%) = 0 → IRR = 25,35%
Atsakymas
IRR = 25,35%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: ΔP = −85,03 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifikuotoji trukmė
Dmod = 5,5/1,04 = 5,288
Įvertintas kainos pokytis
%ΔP ≈ −5,288·(−0,005) = 2,644%
P ≈ 1080·(1 + 0,02644) = €1 108,56
Atsakymas
P = €1 108,56
Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 12,01 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC skolos dalis
0,5·5%·(1 − 0,25) = 1,875%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (7,88% − 1,875%)/0,5 = 12,01%
Atsakymas
re = 12,01%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 12,15 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Atsakymas
P = 0,9772
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,6651
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Atsakymas
P = 0,6651
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1267
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,75
z iš lentelės
z ≈ 0,67
Atgal į pradinius vienetus
x = 65 + 0,67·10 = 71,7 tšk.
Atsakymas
x = 71,7 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 1,353 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 9, t = 2,262
Paklaidos riba
E = 2,262·4,4/√10 = 3,147
Intervalas
4,5 ± 3,147 → [1,353, 7,647]
Atsakymas
apatinis rėžis = 1,353 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 7,333 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (5·7² + 5·4²)/10 = 32,5
sp = 5,701
Paklaidos riba
E = 2,228·5,701·√(1/6 + 1/6) = 7,333
Atsakymas
E = 7,333 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,801
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 2/√12 = 0,5774
Testo statistika
t = 1,04/0,5774 = 1,801
Atsakymas
t = 1,801
Kai df = 11, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,201; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 200,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·4/√81 = 1,145
Intervalo rėžis
U = 199 + 1,145 = 200,1
Atsakymas
U = 200,1
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9865
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 596/5 = 119,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 462
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2437
Koreliacijos koeficientas
r = 462/√(90·2437) = 0,9865
Atsakymas
r = 0,9865
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 4,278
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 136/6 = 22,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15
Regresijos tiesė
b = −15/17,5 = −0,8571
a = 22,67 − (−0,8571)·3,5 = 25,67
ŷ = 25,67 − 0,8571·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (22 − 25,67)/(−0,8571) = 4,278
Atsakymas
x = 4,278
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.