Po 2 metų jums reikės €20 000. Sąskaita moka 6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €20 0006% / 4n = 2
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Po 11 metų norite turėti €20 000. Kiekvieno mėnesio pabaigoje atidedate tą pačią sumą į sąskaitą, kuri moka 3% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite mėnesio įnašą A.
FV = €20 0003% / 12N = 132
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €250 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €16 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 2% per metus. Kapitalo kaina 9%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €250 000CF1 = €16 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €7 500, €5 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 5 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 6 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 163, kai pajamingumas iki išpirkimo 3%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 6P = €1 163YTM = 3%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 8%, išperkama po 8 metų ir parduodama už €870. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 8P = €870
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €3 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €1 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 11%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 28%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €44,00 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 1,1, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 9%. Raskite WACC.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 182,5 z įvertį z.
μ = 170σ = 10x = 182,5
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,1, 0,2
σ =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 5. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 10X + 5
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 28,3 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 28,3 min
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
13 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 0,9, o standartinis nuokrypis 1,2. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 13d̄ = 0,9sd = 1,299%t(12) = 3,055
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 8 sklypų, vidutinis derlius 26,5 kg, standartinis nuokrypis 8 kg. 2 sklypų grupė: 6 sklypų, vidurkis 31,5 kg, standartinis nuokrypis 5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
9 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 1,17, o skirtumų standartinis nuokrypis 3,5. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = 1,17sd = 3,5
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 15. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 15E = 2,595%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 17754 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·2 = 8
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,126 = €17 754,22
Atsakymas
PV = €17 754,22
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 128,1 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 16 000/(0,09 − 0,02) = 228 571,43
NPV
NPV = 228 571,43 − 250 000 = −€21 428,57
Atsakymas
NPV = −€21 428,57
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 20,6 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 69,44
NPV(25%) = −480,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 20 + 5·69,44/(69,44 − (−480,00)) = 20,63%
tiksliai: NPV(20,6%) = 0 → IRR = 20,6%
Atsakymas
IRR = 20,6%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 6,009 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,03)−6 = €837,48
Kuponas
C = (1163 − 837,48)/5,417 = €60,09
Kupono norma
c = 60,09/1000 = 6,009%
Atsakymas
c = 6,009%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 10,48 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€870 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Skaitinis sprendimas
P(10%) = €893,30, P(11%) = €845,62
YTM = 10,48%
Atsakymas
YTM = 10,48%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,97 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·11% + 0,25·4%·(1 − 0,28) = 8,97%
Atsakymas
WACC = 8,97%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,1 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (182,5 − 170)/10 = 1,25
Atsakymas
z = 1,25
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,388
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Tiesinis pokytis
σY = |10|·0,8047 = 8,047
Atsakymas
σY = 8,047
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·1,05 + 5 = 15,5.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9306
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standartizuokite
z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306
Atsakymas
P = 0,9306
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9099
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Atsakymas
P = 0,9099
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 1,017 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 12, t = 3,055
Paklaidos riba
E = 3,055·1,2/√13 = 1,017
Atsakymas
E = 1,017 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 11,4 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (7·8² + 5·5²)/12 = 47,75
sp = 6,91
Paklaidos riba
E = 3,055·6,91·√(1/8 + 1/6) = 11,4
Atsakymas
E = 11,4 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,003
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 3,5/√9 = 1,167
Testo statistika
t = 1,17/1,167 = 1,003
Atsakymas
t = 1,003
Kai df = 8, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,306; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 139
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,96·15/2,5)² = 138,3
Apvalinkite aukštyn
n = 139
Atsakymas
n = 139
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9942
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 153/6 = 25,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 245
Syy = Σ(y − ȳ)² = 867,5
Koreliacijos koeficientas
r = 245/√(70·867,5) = 0,9942
Atsakymas
r = 0,9942
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 58,65
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 255/5 = 51
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51
Regresijos tiesė
b = 51/10 = 5,1
a = 51 − 5,1·3 = 35,7
ŷ = 35,7 + 5,1·x
Prognozė
ŷ = 35,7 + 5,1·4,5 = 58,65
Atsakymas
ŷ = 58,65
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.