Investuojate €1 000 esant 5 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 2 metų.
PV = €1 0005% / 12n = 2
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€300 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 25 metų, esant 3% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 6-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.
P = €300 0003% / 12N = 300k = 72
B = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€60 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €24 000, €12 000, €27 000, €15 000. Kapitalo kaina – 7,000000000000001 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €26 000, €29 500, €20 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 26 000CF2 = 29 500CF3 = 20 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 3 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 3%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 3y0 = 3,5%y1 = 3%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 8 metų. Ji parduodama už €1 242. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 7% (2×)n = 8P = €1 242
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 0,75. Jos nuosavo kapitalo kaina 8%, skolos kaina prieš mokesčius 6%, o mokesčio tarifas 25%. Raskite WACC.
D/E = 0,75re = 8%rd = 6%T = 25%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 1,2. Ji planuoja 0,4 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 25,8%, nerizikinga norma 2%, o rinkos rizikos premija 5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 410?
μ = 500σ = 75x = 410
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05
σ =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 5 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,25. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 5p = 0,25
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 34,5 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 34,5 min
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
20 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 2,8, o standartinis nuokrypis 4,6. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 20d̄ = 2,8sd = 4,699%t(19) = 2,861
apatinis rėžis = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 1,6 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.
n = 25s = 1,6 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 50; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 36. Atsitiktinės 144 stebėjimų imties vidurkis 46,1. Tikrinkite H₀: μ = 50 prieš H₁: μ ≠ 50. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 50σ = 36n = 144x̄ = 46,1H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
36 matavimų imties vidurkis – 503,7. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 503,7σ = 20n = 3690%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 87Σx² = 55Σy² = 1643Σxy = 226
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 59?
n = 5ŷ = 59
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 1105 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.
N − k = 300 − 72 = 228
B = 1423·(1 − (1 + 0,0025)−228)/0,0025 = €247 010,31
Atsakymas
B = €247 010,31
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 6395 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 24 000/1,07 = 22 429,91
CF2/(1 + 0,07)2 = 12 000/1,145 = 10 481,26
CF3/(1 + 0,07)3 = 27 000/1,225 = 22 040,04
CF4/(1 + 0,07)4 = 15 000/1,311 = 11 443,43
Sudėkite
NPV = €6 394,64
Atsakymas
NPV = €6 394,64
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 24,89 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 3 726,85
NPV(25%) = −80,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €35,00, N = 16
Skaitinis sprendimas
i = 1,752% per pusmetį
YTM
YTM = 2·1,752% = 3,505%
Atsakymas
YTM = 3,505%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·8% + 0,4286·6%·(1 − 0,25) = 6,5%
Atsakymas
WACC = 6,5%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 9,781 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 1,2·(1 + 0,742·0,4) = 1,556
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 1,556·5% = 9,781%
Atsakymas
re = 9,781%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,12
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Atsakymas
P = 0,8849
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,819
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,05 = 2,3
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,05 = 8,6
Dispersija
Var(X) = 8,6 − 2,3² = 3,31
σ = √3,31 = 1,819
Atsakymas
σ = 1,819
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,6328
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,755 = 0,2373
P(X = 1) = 5·0,25·0,754 = 0,3955
Sudėkite
P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328
Atsakymas
P = 0,6328
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,1587
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standartizuokite
z = (34,5 − 32)/2,5 = 1
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9515
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515
Atsakymas
P = 0,9515
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −0,1428 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 19, t = 2,861
Paklaidos riba
E = 2,861·4,6/√20 = 2,943
Intervalas
2,8 ± 2,943 → [−0,1428, 5,743]
Atsakymas
apatinis rėžis = −0,1428 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 2,226 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 24·1,6² = 61,44
σ² rėžiai
61,44/39,364 = 1,561
61,44/12,401 = 4,954
σ rėžis
σ = √4,954 = 2,226 µm
Atsakymas
σ = 2,226 µm
σ 95 % intervalas: [1,249, 2,226] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,1936
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (46,1 − 50)/3 = −1,3
Uodegos plotas
Φ(1,3) = 0,9032
1 − Φ(1,3) = 0,0968
p reikšmė
p = 2·0,0968 = 0,1936
Atsakymas
p = 0,1936
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 498,2
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·20/√36 = 5,483
Intervalo rėžis
L = 503,7 − 5,483 = 498,2
Atsakymas
L = 498,2
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9737
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 226 − 15·87/5 = −35
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1643 − 87²/5 = 129,2
Koreliacijos koeficientas
r = −35/√(10·129,2) = −0,9737
Atsakymas
r = −0,9737
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 4,111
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 315/5 = 63
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180
Regresijos tiesė
b = 180/40 = 4,5
a = 63 − 4,5·5 = 40,5
ŷ = 40,5 + 4,5·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (59 − 40,5)/4,5 = 4,111
Atsakymas
x = 4,111
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.