Investuojate €5 000 esant 4% metinei normai su tolydžiuoju kapitalizavimu. Raskite vertę FV po 8 metų.
PV = €5 000r = 4%t = 8
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metus. Palūkanų norma – 7,2 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €150 0007,2% / 12N = 360
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €40 000, tarnauja 5 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €5 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 12%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 5r = 12%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €9 500, €14 500, €10 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 9 500CF2 = 14 500CF3 = 10 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 12 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 5,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 5%YTM = 5,5%n = 12
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą ir išperkama po 5 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 5YTM = 5,5%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €10 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,9. Ji planuoja 0,6 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 20%, nerizikinga norma 1,5%, o rinkos rizikos premija 7%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 35,6 z įvertį z.
μ = 50σ = 12x = 35,6
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,25, 0,15
σ =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,35Y = 5X + 4
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9808. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9808
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 20 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
20 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 2,2, o standartinis nuokrypis 1,2. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 20d̄ = 2,2sd = 1,290%t(19) = 1,729
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 29. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?
σ = 29E = 590%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −3,53, o skirtumų standartinis nuokrypis 7,2. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = −3,53sd = 7,2
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 203,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 203,6σ = 15n = 2590%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 302Σx² = 55Σy² = 18876Σxy = 984
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 6886 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laipsnio rodiklis
r·t = 0,04·8 = 0,32
e0,32 = 1,377
Būsimoji vertė
FV = 5 000·1,377 = €6 885,64
Atsakymas
FV = €6 885,64
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 1018 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·30 = 360
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,1161
A = 150 000·0,006/(1 − 0,1161) = €1 018,18
Atsakymas
A = €1 018,18
3.NPV ir IRR
Atsakymas: EAC = 16096 €
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,12−5)/0,12 = 3,605
Metinė pirkimo kainos dalis
40 000/3,605 = 11 096,39
EAC
EAC = 11 096,39 + 5 000 = €16 096,39
Atsakymas
EAC = €16 096,39
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 17,65 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(15%) = 1 128,87
NPV(20%) = −937,50
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €25,00, i = 0,0275, N = 24
Kuponų dabartinė vertė
€25,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €435,02
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5215 = €521,48
Kaina
P = €956,50
Atsakymas
P = €956,50
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: D = 4,54 metai
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 50/1,055 = 47,39, t·PV = 47,39
t = 2: 50/1,113 = 44,92, t·PV = 89,85
t = 3: 50/1,174 = 42,58, t·PV = 127,74
t = 4: 50/1,239 = 40,36, t·PV = 161,44
t = 5: 1050/1,307 = 803,39, t·PV = 4 016,96
Trukmė
P = 978,65
D = 4 443,38/978,65 = 4,54
Atsakymas
D = 4,54 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,4 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·12% + 0,375·3%·(1 − 0,2) = 8,4%
Atsakymas
WACC = 8,4%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 10,82 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 0,9·(1 + 0,8·0,6) = 1,332
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1,5% + 1,332·7% = 10,82%
Atsakymas
re = 10,82%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 17,63
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (35,6 − 50)/12 = −1,2
Atsakymas
z = −1,2
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 10,77
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 3,8, Var(X) = 3,96, σX = 1,99
Tiesinis pokytis
σY = |5|·1,99 = 9,95
Atsakymas
σY = 9,95
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·3,8 + 4 = 23.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = −2,07
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,9808 = 0,0192
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,0192 ir nuskaitykite z.
z = −2,07
Atsakymas
z = −2,07
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 466 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,2
z iš lentelės
z ≈ −0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Atsakymas
x = 466 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 0,4639 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 19, t = 1,729
Paklaidos riba
E = 1,729·1,2/√20 = 0,4639
Atsakymas
E = 0,4639 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 92
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·29/5)² = 91,03
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 92
Atsakymas
n = 92
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,698
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 7,2/√12 = 2,078
Testo statistika
t = −3,53/2,078 = −1,698
Atsakymas
t = −1,698
Kai df = 11, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,201; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 208,5
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·15/√25 = 4,935
Intervalo rėžis
U = 203,6 + 4,935 = 208,5
Atsakymas
U = 208,5
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9787
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 984 − 15·302/5 = 78
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 18876 − 302²/5 = 635,2
Koreliacijos koeficientas
r = 78/√(10·635,2) = 0,9787
Atsakymas
r = 0,9787
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 50,39
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 266/6 = 44,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
Regresijos tiesė
b = 53/17,5 = 3,029
a = 44,33 − 3,029·3,5 = 33,73
ŷ = 33,73 + 3,029·x
Prognozė
ŷ = 33,73 + 3,029·5,5 = 50,39
Atsakymas
ŷ = 50,39
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.