CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €2 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 2% per metus. Reikalaujama grąža 5% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.

C₁ = €2 000g = 2%r = 5%

PV = €

2.Pinigų vertė laikeSunkus

€20 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 6 metus. Palūkanų norma – 2,4 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.

P = €20 0002,4% / 12N = 72

A = €

3.NPV ir IRRVidutinis

€30 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €9 000, €10 000, €6 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 000CF₃ = 6 000

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas šiandien kainuoja €150 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €18 500 ir auga 5 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 9-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €18 500g = 5%n = 9r = 8%

NPV = €

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 3 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 2,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 4%YTM = 2,5%n = 3

P = €

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 7%, išperkama po 6 metų ir parduodama už €1 075. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.

F = €1 000kuponas = 7%n = 6P = €1 075

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonė turi €6 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 13%, skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonė turi 4 000 000 akcijų po €10,00 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 0,6, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 8%. Raskite WACC.

β = 0,6r_f = 2,5%r_m = 8%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 26, 29, 47, 57, 57, 35, 40.

n = 7

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 82?

μ = 100σ = 12x = 82

P =

11.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,25, 0,25

Var(X) =

12.TikimybėSunkus

Tikrinami 8 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,1. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 8p = 0,1

P =

13.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 98,6 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98,6 s

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

6 elementų imties vidurkis – 115,5, standartinis nuokrypis s = 2,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 6x̄ = 115,5s = 2,599%t(5) = 4,032

E =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 21 sklypų, vidutinis derlius 67 kg, standartinis nuokrypis 3 kg. 2 sklypų grupė: 10 sklypų, vidurkis 64,5 kg, standartinis nuokrypis 6 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 21x̄₁ = 67s₁ = 3n₂ = 10x̄₂ = 64,5s₂ = 695%t(29) = 2,045

E = kg

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

7 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 5,61, o skirtumų standartinis nuokrypis 10,6. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = 5,61s_d = 10,6

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 100,1. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 100,1σ = 4n = 6495%

U =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7, 53). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(7, 53)

e =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 66667 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Auganti amžinoji renta

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,05 − 0,02) = 2 000/0,03 = €66 666,67

Atsakymas

PV = €66 666,67

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 298,5 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·6 = 72

Įmoka

N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.

(1 + i)^−N = 0,866

A = 20 000·0,002/(1 − 0,866) = €298,53

Atsakymas

A = €298,53

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −8330 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 9 000/1,08 = 8 333,33

CF₂/(1 + 0,08)² = 10 000/1,166 = 8 573,39

CF₃/(1 + 0,08)³ = 6 000/1,26 = 4 762,99

Sudėkite

NPV = €−8 330,29

Atsakymas

NPV = €−8 330,29

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −11898 €

Augančio anuiteto dabartinė vertė

((1,05)/(1,08))⁹ = 0,7761

PV = 18 500/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,7761) = 138 102,29

NPV

NPV = 138 102,29 − 150 000 = −€11 897,71

Atsakymas

NPV = −€11 897,71

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: P = 1043 €

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Vienam laikotarpiui

C = €20,00, i = 0,0125, N = 6

Kuponų dabartinė vertė

€20,00·(1 − 0,9282)/0,0125 = €114,92

Nominalios vertės dabartinė vertė

€1 000·0,9282 = €928,17

Kaina

P = €1 043,10

Atsakymas

P = €1 043,10

Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 5,499 %

Pajamingumo lygtis

€1 075 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Skaitinis sprendimas

P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17

YTM = 5,499%

Atsakymas

YTM = 5,499%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 10,75 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·13% + 0,25·5%·(1 − 0,2) = 10,75%

Atsakymas

WACC = 10,75%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 4,331 %

Rinkos vertės

E = 4 000 000·€10,00 = €40 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,6·5,5% = 5,8%

Svoriai

V = €78 400 000, E/V = 0,5102, D/V = 0,4898

WACC

WACC = 0,5102·5,8% + 0,4898·4%·(1 − 0,3) = 4,331%

Atsakymas

WACC = 4,331%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,59

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 291/7 = 41,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−15,57)² + (−12,57)² + 5,429² + 15,43² + 15,43² + (−6,571)² + (−1,571)² = 951,7

Standartinis nuokrypis

s = √(951,7/6) = 12,59

Atsakymas

s = 12,59

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9332

Standartizuokite

z = −1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

11.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,04

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,25 = 1,6

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,25 = 3,6

Dispersija

Var(X) = 3,6 − 1,6² = 1,04

Atsakymas

Var(X) = 1,04

12.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,8131

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,4305

P(X = 1) = 8·0,1·0,9⁷ = 0,3826

Sudėkite

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

Atsakymas

P = 0,8131

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (98,6 − 105)/6,403 = −1

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9633

Skirtumo skirstinys

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Atsakymas

P = 0,9633

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 4,115

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Paklaidos riba

E = 4,032·2,5/√6 = 4,115

Atsakymas

E = 4,115

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 3,276 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (20·3² + 9·6²)/29 = 17,38

s_p = 4,169

Paklaidos riba

E = 2,045·4,169·√(1/21 + 1/10) = 3,276

Atsakymas

E = 3,276 kg

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 10,6/√7 = 4,006

Testo statistika

t = 5,61/4,006 = 1,4

Atsakymas

t = 1,4

Kai df = 6, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,447; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 101,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,96·4/√64 = 0,98

Intervalo rėžis

U = 100,1 + 0,98 = 101,1

Atsakymas

U = 101,1

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9961

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 558/6 = 93

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 810

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4182

Determinacijos koeficientas

r² = 810²/(157,5·4182) = 0,9961

Atsakymas

r² = 0,9961

Apie 99,61% y kitimo paaiškinama tiese.

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4,65

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 228/5 = 45,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Regresijos tiesė

b = 110/40 = 2,75

a = 45,6 − 2,75·6 = 29,1

ŷ = 29,1 + 2,75·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 29,1 + 2,75·7 = 48,35

Liekana

e = 53 − 48,35 = 4,65

Atsakymas

e = 4,65

Taškas yra virš tiesės.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income