Anuitetas 13 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €8 000. Palūkanų norma 5% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €8 000i = 5%n = 13
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 21 metus atidedate €150. Sąskaita moka 3,6 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1503,6% / 12N = 252
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €40 000 ir 1–5 metų pabaigoje grąžina po €15 500, €12 000, €12 000, €14 500, €16 000. Kapitalo kaina 5 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €28 500, €31 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 28 500CF2 = 31 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 11 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 2%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 6,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 2%n = 11y0 = 5,5%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 4%, išperkama po 6 metų ir parduodama už €1 085. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 4%n = 6P = €1 085
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 0,4. Jos nuosavo kapitalo kaina 8%, skolos kaina prieš mokesčius 4,5%, o mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC.
D/E = 0,4re = 8%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €19,50 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 1,2, nerizikinga palūkanų norma – 1,5%, rinkos grąža – 5,5%. Raskite WACC.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 80 z įvertį z.
μ = 60σ = 10x = 80
z =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 11 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 11k = 2
N =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 1
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0183. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,0183
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 10 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 30. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 30E = 395%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 500; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 20. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 495,48. Tikrinkite H₀: μ = 500 prieš H₁: μ < 500. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 500σ = 20n = 100x̄ = 495,48H₁: μ < μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
64 matavimų imties vidurkis – 101,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 101,3σ = 8n = 6499%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2,5, 27). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 27)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 75149 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5303)/0,05 = 9,394
Dabartinė vertė
PV = 8 000·9,394 = €75 148,58
Atsakymas
PV = €75 148,58
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 56367 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 15 500/1,05 = 14 761,90 → Σ = 14 761,90
metai 2: 12 000/1,103 = 10 884,35 → Σ = 25 646,26
metai 3: 12 000/1,158 = 10 366,05 → Σ = 36 012,31
metai 4: 14 500/1,216 = 11 929,19 → Σ = 47 941,50
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 3 + 3 987,69/11 929,19 = 3,334
Atsakymas
DPB = 3,334 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,034 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 12,24 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(10%) = 1 528,93
NPV(15%) = −1 776,94
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 085 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Skaitinis sprendimas
P(2%) = €1 112,03, P(3%) = €1 054,17
YTM = 2,459%
Atsakymas
YTM = 2,459%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,614 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·8% + 0,2857·4,5%·(1 − 0,3) = 6,614%
Atsakymas
WACC = 6,614%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,267 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 2 500 000·€19,50 = €48 750 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1,5% + 1,2·4% = 6,3%
Svoriai
V = €69 150 000, E/V = 0,705, D/V = 0,295
WACC
WACC = 0,705·6,3% + 0,295·3,5%·(1 − 0,2) = 5,267%
Atsakymas
WACC = 5,267%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 12,84
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (80 − 60)/10 = 2
Atsakymas
z = 2
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 55
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
Atsakymas
N = 55
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 4,023
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Tiesinis pokytis
σY = |5|·0,8047 = 4,023
Atsakymas
σY = 4,023
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·1,05 + 1 = 6,25.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 2,09
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,0183 = 0,9817
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9817 ir nuskaitykite z.
z = 2,09
Atsakymas
z = 2,09
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 80,8 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,1
z iš lentelės
z ≈ −1,28
Atgal į pradinius vienetus
x = 100 − 1,28·15 = 80,8 tšk.
Atsakymas
x = 80,8 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 18,28
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Paklaidos riba
E = 2,262·4,5/√10 = 3,219
Intervalas
21,5 ± 3,219 → [18,28, 24,72]
Atsakymas
apatinis rėžis = 18,28
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 385
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·30/3)² = 384,2
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 385
Atsakymas
n = 385
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,01191
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 20/√100 = 2
z = (495,48 − 500)/2 = −2,26
Uodegos plotas
Φ(2,26) = 0,9881
1 − Φ(2,26) = 0,0119
p reikšmė
p = 0,01191
Atsakymas
p = 0,01191
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 98,72
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·8/√64 = 2,576
Intervalo rėžis
L = 101,3 − 2,576 = 98,72
Atsakymas
L = 98,72
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9394
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 466/5 = 93,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1637
Determinacijos koeficientas
r² = 248²/(40·1637) = 0,9394
Atsakymas
r² = 0,9394
Apie 93,94% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 4,2
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Regresijos tiesė
b = −28/10 = −2,8
a = 21,4 − (−2,8)·3 = 29,8
ŷ = 29,8 − 2,8·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 29,8 + (−2,8)·2,5 = 22,8
Liekana
e = 27 − 22,8 = 4,2
Atsakymas
e = 4,2
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.