Anuitetas 11 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €1 000. Palūkanų norma 8% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €1 000i = 8%n = 11
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€25 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 4 metus. Palūkanų norma – 3 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €25 0003% / 12N = 48
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €40 000, tarnauja 10 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €3 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 10%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €40 000M = €3 000n = 10r = 10%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
€40 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 7 metų grąžina €11 500. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €40 000CF = €11 500n = 7
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 11 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 202, kai pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 11P = €1 202YTM = 5,5%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 6%, išperkama po 4 metų ir parduodama už €1 035. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 4P = €1 035
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €12 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 28%. Raskite WACC.
Įmonė turi 1 000 000 akcijų, kurių kaina €29,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €11 800 000. Ji ką tik išmokėjo €3,00 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 3% per metus. Jos skolos rinkos vertė €23 600 000, o kaina prieš mokesčius 4,5%. Mokesčio tarifas 25%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 182,5?
μ = 170σ = 10x = 182,5
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,1, 0,35, 0,15, 0,25
σ =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,3Y = 3X + 1
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 169,6 ir 179,75 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 178σ = 7x1 = 169,6x2 = 179,75
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 80 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 4,6 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.
n = 15s = 4,6 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 18 studentų, vidutinis rezultatas 21,5, standartinis nuokrypis 6. 2 grupė: 13 studentų, vidutinis rezultatas 29,2, standartinis nuokrypis 10,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 18x̄₁ = 21,5s₁ = 6n₂ = 13x̄₂ = 29,2s₂ = 10,5
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
100 matavimų imties vidurkis – 202,4. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 202,4σ = 20n = 10095%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (22, 102). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(22, 102)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 7139 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4289)/0,08 = 7,139
Dabartinė vertė
PV = 1 000·7,139 = €7 138,96
Atsakymas
PV = €7 138,96
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 553,4 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 25 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €553,36
Atsakymas
A = €553,36
3.NPV ir IRR
Atsakymas: EAC = 9510 €
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,1−10)/0,1 = 6,145
Metinė pirkimo kainos dalis
40 000/6,145 = 6 509,82
EAC
EAC = 6 509,82 + 3 000 = €9 509,82
Atsakymas
EAC = €9 509,82
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 21,32 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−7)/i = 40 000/11 500 = 3,478
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 21%: 3,508
i = 22%: 3,416
IRR = 21,32%
Atsakymas
IRR = 21,32%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 7,996 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,055)−11 = €554,91
Kuponas
C = (1202 − 554,91)/8,093 = €79,96
Kupono norma
c = 79,96/1000 = 7,996%
Atsakymas
c = 7,996%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 5,013 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 035 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €1 035,46, P(6%) = €1 000,00
YTM = 5,013%
Atsakymas
YTM = 5,013%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,26 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·8% + 0,25·7%·(1 − 0,28) = 7,26%
Atsakymas
WACC = 7,26%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,986 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Atsakymas
P = 0,1056
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,337
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,7, Var(X) = 1,31, σX = 1,145
Tiesinis pokytis
σY = |3|·1,145 = 3,434
Atsakymas
σY = 3,434
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·1,7 + 1 = 6,1.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,4836
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2
z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25
Plotas tarp
P = Φ(0,25) − Φ(−1,2) = 0,5987 − 0,1151 = 0,4836
Atsakymas
P = 0,4836
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 534 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,8
z iš lentelės
z ≈ 0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 + 0,84·40 = 534 h
Atsakymas
x = 534 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 67,81
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Paklaidos riba
E = 3,707·4,5/√7 = 6,305
Intervalas
61,5 ± 6,305 → [55,19, 67,81]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 67,81
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 7,254 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 14·4,6² = 296,2
σ² rėžiai
296,2/26,119 = 11,34
296,2/5,629 = 52,63
σ rėžis
σ = √52,63 = 7,254 µm
Atsakymas
σ = 7,254 µm
σ 95 % intervalas: [3,368, 7,254] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,59
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (17·6² + 12·10,5²)/29 = 66,72
sp = 8,168
Standartinė paklaida
SE = 8,168·√(1/18 + 1/13) = 2,973
Testo statistika
t = (21,5 − 29,2)/2,973 = −2,59
Atsakymas
t = −2,59
Kai df = 29, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,045; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 198,5
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·20/√100 = 3,92
Intervalo rėžis
L = 202,4 − 3,92 = 198,5
Atsakymas
L = 198,5
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9892
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 440/5 = 88
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Syy = Σ(y − ȳ)² = 654
Koreliacijos koeficientas
r = 160/√(40·654) = 0,9892
Atsakymas
r = 0,9892
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 2,843
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 531/6 = 88,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 373
Regresijos tiesė
b = 373/70 = 5,329
a = 88,5 − 5,329·20 = −18,07
ŷ = −18,07 + 5,329·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = −18,07 + 5,329·22 = 99,16
Liekana
e = 102 − 99,16 = 2,843
Atsakymas
e = 2,843
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.