Anuitetas 20 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €500. Palūkanų norma 4% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €500i = 4%n = 20
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 25 metus. Palūkanų norma – 3,6 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €150 0003,6% / 12N = 300
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€20 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €5 000, €7 000, €9 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €5 500, €5 000, €4 500, €3 500. Pinigų srautus galima reinvestuoti 10 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 5 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 2,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 8%YTM = 2,5%n = 5
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 20 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%), parduodama už €1 213. Emitentas gali ją išpirkti po 6 metų už €1 050 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 5%P = €1 213išpirkimo kaina = €1 050išpirkimas po 6 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €6 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €1 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 11%, skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €8,00 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 1,8, nerizikinga palūkanų norma – 1%, rinkos grąža – 7%. Raskite WACC.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 40. Raskite rezultato 468 z įvertį z.
μ = 500σ = 40x = 468
z =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 12 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 12k = 3
N =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €8 su tikimybe 0,15 ir €100 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€8: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 27,5 ir 35,3 min? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 32σ = 6x1 = 27,5x2 = 35,3
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 30 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 38. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 38E = 399%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 56,8, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 56,8s = 20n = 25
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 1,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 4. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 25?
n = 5ŷ = 25
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 6795 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4564)/0,04 = 13,59
Dabartinė vertė
PV = 500·13,59 = €6 795,16
Atsakymas
PV = €6 795,16
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 759 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·25 = 300
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,4071
A = 150 000·0,003/(1 − 0,4071) = €759,00
Atsakymas
A = €759,00
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −2225 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 5 000/1,08 = 4 629,63
CF2/(1 + 0,08)2 = 7 000/1,166 = 6 001,37
CF3/(1 + 0,08)3 = 9 000/1,26 = 7 144,49
Sudėkite
NPV = €−2 224,51
Atsakymas
NPV = €−2 224,51
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 21,54 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
5 500·1,13 = 7 320,50
5 000·1,12 = 6 050,00
4 500·1,11 = 4 950,00
3 500·1,10 = 3 500,00
TV = 21 820,50
MIRR
MIRR = (21 820,50/10 000)1/4 − 1 = 21,54%
Atsakymas
MIRR = 21,54%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1257 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €40,00, i = 0,0125, N = 10
Kuponų dabartinė vertė
€40,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €373,82
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,8832 = €883,18
Kaina
P = €1 257,00
Atsakymas
P = €1 257,00
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTC = 1,991 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1213 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
Skaitinis sprendimas
y = 1%: €1 278,92
y = 2%: €1 212,44
YTC = 1,991%
Atsakymas
YTC = 1,991%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 3,501%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,771 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·11% + 0,1429·3%·(1 − 0,2) = 9,771%
Atsakymas
WACC = 9,771%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,861 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 2 500 000·€8,00 = €20 000 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1% + 1,8·6% = 11,8%
Svoriai
V = €40 400 000, E/V = 0,495, D/V = 0,505
WACC
WACC = 0,495·11,8% + 0,505·5%·(1 − 0,2) = 7,861%
Atsakymas
WACC = 7,861%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11,58
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (468 − 500)/40 = −0,8
Atsakymas
z = −0,8
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 220
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220
Atsakymas
N = 220
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,2 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 6 (p = 0,15), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Laukiamoji vertė
E(G) = 6·0,15 + 98·0,01 − 2·0,84 = 0,2 €
Atsakymas
E(G) = 0,2 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,4822
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75
z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55
Plotas tarp
P = Φ(0,55) − Φ(−0,75) = 0,7088 − 0,2266 = 0,4822
Atsakymas
P = 0,4822
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 181,6 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm
Atsakymas
x = 181,6 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 70,13
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Paklaidos riba
E = 1,812·2,5/√11 = 1,366
Intervalas
71,5 ± 1,366 → [70,13, 72,87]
Atsakymas
apatinis rėžis = 70,13
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1065
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·38/3)² = 1065
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 1065
Atsakymas
n = 1065
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 113
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,645)·4/1,5)² = 112,1
Apvalinkite aukštyn
n = 113
Atsakymas
n = 113
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9268
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 2297 − 33·402/6 = 86
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 27426 − 402²/6 = 492
Koreliacijos koeficientas
r = 86/√(17,5·492) = 0,9268
Atsakymas
r = 0,9268
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 1,545
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 109/5 = 21,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Regresijos tiesė
b = −22/10 = −2,2
a = 21,8 − (−2,2)·3 = 28,4
ŷ = 28,4 − 2,2·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (25 − 28,4)/(−2,2) = 1,545
Atsakymas
x = 1,545
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.