Po 8 metų jums reikės €5 000. Sąskaita moka 4,8 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €5 0004,8% / 4n = 8
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 16 metus atidedate €150. Sąskaita moka 7,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1507,2% / 12N = 192
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €60 000, tarnauja 4 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €2 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 12%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €60 000M = €2 000n = 4r = 12%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €23 500, €24 000, €25 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −40 000CF1 = 23 500CF2 = 24 000CF3 = 25 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 2,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4%YTM = 2,5%n = 4
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija parduodama už €970, jos pajamingumas iki išpirkimo 3% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 6,3 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas sumažėja 25 baziniais punktais.
P0 = €970y = 3%D = 6,3Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 0,6, reikalaujama grąža 3,4%. Nerizikinga norma 1%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 0,6re = 3,4%rf = 1%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €8 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 14%. Jos skolą sudaro 5 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 7%, iki išpirkimo 8 metų), kurių kiekviena parduodama už €915. Mokesčio tarifas 21%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 40?
μ = 50σ = 5x = 40
P =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 14 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 14k = 3
N =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,7. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 9p = 0,7
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 171,35 ir 190,95 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 178σ = 7x1 = 171,35x2 = 190,95
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).
Populiacijos standartinis nuokrypis – 25. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?
σ = 25E = 2,595%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 studentų imties vidutinis rezultatas – 192,2, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 192,2s = 12n = 16
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ < 50 atliekamas, kai α = 0.01, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 9. Iš tikrųjų vidurkis lygus 47.75. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 50μ = 47,75σ = 9n = 36α = 0,01
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7, 23). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(7, 23)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 3413 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·8 = 32
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,465 = €3 413,45
Atsakymas
PV = €3 413,45
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 53841 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,12−4)/0,12 = 3,037
Metinė pirkimo kainos dalis
60 000/3,037 = 19 754,07
EAC
EAC = 19 754,07 + 2 000 = €21 754,07
Atsakymas
EAC = €21 754,07
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 36,73 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(35%) = 940,41
NPV(40%) = −1 676,38
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, i = 0,0125, N = 8
Kuponų dabartinė vertė
€20,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €151,36
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,9054 = €905,40
Kaina
P = €1 056,76
Atsakymas
P = €1 056,76
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 984,8 €
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifikuotoji trukmė
Dmod = 6,3/1,03 = 6,117
Įvertintas kainos pokytis
%ΔP ≈ −6,117·(−0,0025) = 1,529%
P ≈ 970·(1 + 0,01529) = €984,83
Atsakymas
P = €984,83
Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (3,4% − 1%)/0,6 = 4%
Rinkos grąža
rm = 1% + 4% = 5%
Atsakymas
rm = 5%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 11,35 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 364
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364
Atsakymas
N = 364
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,000433
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,39 = 1,968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0,7·0,38 = 0,0004133
Sudėkite
P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433
Atsakymas
P = 0,000433
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7968
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (171,35 − 178)/7 = −0,95
z₂ = (190,95 − 178)/7 = 1,85
Plotas tarp
P = Φ(1,85) − Φ(−0,95) = 0,9678 − 0,1711 = 0,7968
Atsakymas
P = 0,7968
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 48,55 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Atgal į x
x = 65 + −1,645·10 = 48,55 tšk.
Atsakymas
x = 48,55 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 51,86
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Paklaidos riba
E = 3,169·8/√11 = 7,644
Intervalas
59,5 ± 7,644 → [51,86, 67,14]
Atsakymas
apatinis rėžis = 51,86
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 385
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·25/2,5)² = 384,2
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 385
Atsakymas
n = 385
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,6
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 20,44 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 50 − 2,326·1,5 = 46,51
z esant tikrajam vidurkiui
z = (46,51 − 47,75)/1,5 = −0,826
Galia
galia = P(Z < −0.826) = 20.44%
1 − β = 20,44%
Atsakymas
1 − β = 20,44%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,917
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 369/6 = 61,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 251
Syy = Σ(y − ȳ)² = 981,5
Determinacijos koeficientas
r² = 251²/(70·981,5) = 0,917
Atsakymas
r² = 0,917
Apie 91,7% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 1,6
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 95/5 = 19
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96
Regresijos tiesė
b = 96/40 = 2,4
a = 19 − 2,4·6 = 4,6
ŷ = 4,6 + 2,4·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 4,6 + 2,4·7 = 21,4
Liekana
e = 23 − 21,4 = 1,6
Atsakymas
e = 1,6
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.