Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €12 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 1% per metus. Reikalaujama grąža 3% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €12 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Pasiskolinate €25 000 esant 4,2 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €475. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.
P = €25 000A = €4754,2% / 12
N = įmokos
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €500 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €41 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 2% per metus. Kapitalo kaina 11%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €500 000CF1 = €41 000g = 2%r = 11%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €11 500, €16 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 16 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 11 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €796, kai pajamingumas iki išpirkimo 9%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 11P = €796YTM = 9%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą ir išperkama po 6 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 5%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 4%n = 6YTM = 5%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 0,8, reikalaujama grąža 7,1%. Nerizikinga norma 3,5%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 0,8re = 7,1%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 1. Ji planuoja 0,6 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 25%, nerizikinga norma 2,5%, o rinkos rizikos premija 6%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 50 z įvertį z.
μ = 70σ = 10x = 50
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,1, 0,35, 0,2
σ =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 9 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?
n = 9p = 0,4k = 1
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 101 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4< 101 kg
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 100 detalių imties vidutinis ilgis 91,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 7 mm. 2 linija: 100 detalių imties vidurkis 89,6 mm, žinomas standartinis nuokrypis 9 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
36 matavimų imties vidurkis – 500,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 500,6σ = 12n = 3695%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 23). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 23)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 600000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pertvarkykite anuiteto formulę
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0035/475 = 0,8158
Spręskite logaritmais
N = −ln(0,8158)/ln(1,004) = 58,27
Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų
Po 58 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.
N = 59
Atsakymas
N = 59 įmokos
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −44444 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 41 000/(0,11 − 0,02) = 455 555,56
NPV
NPV = 455 555,56 − 500 000 = −€44 444,44
Atsakymas
NPV = −€44 444,44
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 7,433 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(5%) = 918,37
NPV(10%) = −909,09
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 5 + 5·918,37/(918,37 − (−909,09)) = 7,513%
tiksliai: NPV(7,433%) = 0 → IRR = 7,433%
Atsakymas
IRR = 7,433%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 6,002 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,09)−11 = €387,53
Kuponas
C = (796 − 387,53)/6,805 = €60,02
Kupono norma
c = 60,02/1000 = 6,002%
Atsakymas
c = 6,002%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: D = 5,435 metai
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 40/1,05 = 38,10, t·PV = 38,10
t = 2: 40/1,103 = 36,28, t·PV = 72,56
t = 3: 40/1,158 = 34,55, t·PV = 103,66
t = 4: 40/1,216 = 32,91, t·PV = 131,63
t = 5: 40/1,276 = 31,34, t·PV = 156,71
t = 6: 1040/1,34 = 776,06, t·PV = 4 656,38
Trukmė
P = 949,24
D = 5 159,04/949,24 = 5,435
Atsakymas
D = 5,435 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 8 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (7,1% − 3,5%)/0,8 = 4,5%
Rinkos grąža
rm = 3,5% + 4,5% = 8%
Atsakymas
rm = 8%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 11,2 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 1·(1 + 0,75·0,6) = 1,45
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2,5% + 1,45·6% = 11,2%
Atsakymas
re = 11,2%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 18,43
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (50 − 70)/10 = −2
Atsakymas
z = −2
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 11,58
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 1) = 9·0,41·0,68 = 9·0,4·0,0168 = 0,06047
Atsakymas
P = 0,06047
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8413
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 100 kg, σT = 0,5·√4 = 1 kg
Standartizuokite
z = (101 − 100)/1 = 1
Tikimybė
P = Φ(1) = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 166,5 cm
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Atgal į x
x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm
Atsakymas
x = 166,49 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 84,48
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 24, t = 1,711
Paklaidos riba
E = 1,711·16/√25 = 5,475
Intervalas
79 ± 5,475 → [73,52, 84,48]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 84,48
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 9,209 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (5·3,5² + 5·9,5²)/10 = 51,25
sp = 7,159
Paklaidos riba
E = 2,228·7,159·√(1/6 + 1/6) = 9,209
Atsakymas
E = 9,209 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 1,666
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 504,5
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·12/√36 = 3,92
Intervalo rėžis
U = 500,6 + 3,92 = 504,5
Atsakymas
U = 504,5
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,8835
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 124/5 = 24,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Syy = Σ(y − ȳ)² = 32,8
Koreliacijos koeficientas
r = −16/√(10·32,8) = −0,8835
Atsakymas
r = −0,8835
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −5,4
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 130/5 = 26
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Regresijos tiesė
b = −16/10 = −1,6
a = 26 − (−1,6)·3 = 30,8
ŷ = 30,8 − 1,6·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 30,8 + (−1,6)·1,5 = 28,4
Liekana
e = 23 − 28,4 = −5,4
Atsakymas
e = −5,4
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.