Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 15% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas pusmetį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.
r = 15%m = 2
EAR = %
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€25 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 6 metus. Palūkanų norma – 7,2 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €25 0007,2% / 12N = 72
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€30 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €11 000, €7 000, €10 000, €9 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €6 000, €10 500, €8 000. Pinigų srautus galima reinvestuoti 8 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 3 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 2%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 6,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 2%n = 3y0 = 5,5%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 15 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%), parduodama už €1 173. Emitentas gali ją išpirkti po 4 metų už €1 050 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 5%P = €1 173išpirkimo kaina = €1 050išpirkimas po 4 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €3 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 11%, skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 25%. Raskite WACC.
Įmonė turi 4 000 000 akcijų po €34,50 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 21%. Akcijos beta koeficientas – 1,3, nerizikinga palūkanų norma – 4%, rinkos grąža – 8%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 74?
μ = 70σ = 10x = 74
P =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 6 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 6
P =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,7, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?
n = 12p = 0,7k = 5
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 99,9 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99,9 s
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
49 studentų imties vidutinis rezultatas – 120,7, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 120,7s = 4n = 49
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ < 50 atliekamas, kai α = 0.10, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 6. Iš tikrųjų vidurkis lygus 48. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 50μ = 48σ = 6n = 36α = 0,10
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 203Σx² = 55Σy² = 8593Σxy = 668
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3, 14). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(3, 14)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: EAR = 15,56 %
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laikotarpio norma
r/m = 0,15/2 = 0,075
Kapitalizuokite per vienus metus
EAR = (1 + 0,075)2 − 1 = 1,156 − 1 = 15,56%
Atsakymas
EAR = 15,56%
Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 428,6 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·6 = 72
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,65
A = 25 000·0,006/(1 − 0,65) = €428,63
Atsakymas
A = €428,63
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 2132 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 11 000/1,06 = 10 377,36
CF2/(1 + 0,06)2 = 7 000/1,124 = 6 229,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 10 000/1,191 = 8 396,19
CF4/(1 + 0,06)4 = 9 000/1,262 = 7 128,84
Sudėkite
NPV = €2 132,37
Atsakymas
NPV = €2 132,37
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 9,611 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
6 000·1,082 = 6 998,40
10 500·1,081 = 11 340,00
8 000·1,080 = 8 000,00
TV = 26 338,40
MIRR
MIRR = (26 338,40/20 000)1/3 − 1 = 9,611%
Atsakymas
MIRR = 9,611%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 3,589 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1173 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Skaitinis sprendimas
y = 1%: €1 204,13
y = 2%: €1 160,42
YTC = 1,707%
Atsakymas
YTC = 1,707%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 3,498%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,7 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·11% + 0,4·7%·(1 − 0,25) = 8,7%
Atsakymas
WACC = 8,7%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,752 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Atsakymas
P = 0,6554
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,6651
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Atsakymas
P = 0,6651
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,02911
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standartizuokite
z = (99,9 − 105)/6,403 = −0,8
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7881
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standartizuokite
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 57,32
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Paklaidos riba
E = 1,943·12,5/√7 = 9,18
Intervalas
66,5 ± 9,18 → [57,32, 75,68]
Atsakymas
apatinis rėžis = 57,32
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 17,36 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (4·10² + 15·10²)/19 = 100
sp = 10
Paklaidos riba
E = 1,729·10·√(1/5 + 1/16) = 8,858
Intervalas
8,5 ± 8,858 → [−0,3585, 17,36]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 17,36 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,225
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 76,36 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 6/√36 = 1
x̄c = 50 − 1,282·1 = 48,72
z esant tikrajam vidurkiui
z = (48,72 − 48)/1 = 0,718
Galia
galia = P(Z < 0.718) = 76.36%
1 − β = 76,36%
Atsakymas
1 − β = 76,36%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9956
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 668 − 15·203/5 = 59
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 8593 − 203²/5 = 351,2
Koreliacijos koeficientas
r = 59/√(10·351,2) = 0,9956
Atsakymas
r = 0,9956
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 2,35
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 107/5 = 21,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Regresijos tiesė
b = 130/40 = 3,25
a = 21,4 − 3,25·6 = 1,9
ŷ = 1,9 + 3,25·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 1,9 + 3,25·3 = 11,65
Liekana
e = 14 − 11,65 = 2,35
Atsakymas
e = 2,35
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.