Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €5 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 4% per metus. Reikalaujama grąža 6% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €5 000g = 4%r = 6%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€250 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 20 metus. Palūkanų norma – 2,4 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €250 0002,4% / 12N = 240
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €500 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €36 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 3% per metus. Kapitalo kaina 9%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €500 000CF1 = €36 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €26 000, €33 500, €31 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 26 000CF2 = 33 500CF3 = 31 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 7 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €774, kai pajamingumas iki išpirkimo 9%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 7P = €774YTM = 9%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija parduodama už €915, jos pajamingumas iki išpirkimo 4% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 7,9 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas padidėja 75 baziniais punktais.
P0 = €915y = 4%D = 7,9Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €8 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
E = €8 000 000D = €6 000 000re = 8%rd = 7%T = 21%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 2 000 000 akcijų, kurių kaina €59,00; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €47 200 000. Ji ką tik išmokėjo €1,20 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 5% per metus. Jos skolos rinkos vertė €94 400 000, o kaina prieš mokesčius 4,5%. Mokesčio tarifas 21%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 56?
μ = 50σ = 15x = 56
P =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 8 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
8 / 6
P =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 2X + 4
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 57,5 ir 67 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 65σ = 10x1 = 57,5x2 = 67
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 70 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 100 detalių imties vidutinis ilgis 99 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 13 mm. 2 linija: 40 detalių imties vidurkis 105 mm, žinomas standartinis nuokrypis 12 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 52 iš 80 pacientų, gydytų A būdu, ir 116 iš 150 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 116n₂ = 150
z =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (8, 58). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(8, 58)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 250000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·20 = 240
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,6191
A = 250 000·0,002/(1 − 0,6191) = €1 312,61
Atsakymas
A = €1 312,61
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 100000 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 36 000/(0,09 − 0,03) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Atsakymas
NPV = €100 000,00
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 35,64 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(35%) = 443,53
NPV(40%) = −2 857,14
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,09)−7 = €547,03
Kuponas
C = (774 − 547,03)/5,033 = €45,10
Kupono norma
c = 45,1/1000 = 4,51%
Atsakymas
c = 4,51%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 862,9 €
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifikuotoji trukmė
Dmod = 7,9/1,04 = 7,596
Įvertintas kainos pokytis
%ΔP ≈ −7,596·(0,0075) = −5,697%
P ≈ 915·(1 − 0,05697) = €862,87
Atsakymas
P = €862,87
Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,941 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·8% + 0,4286·7%·(1 − 0,21) = 6,941%
Atsakymas
WACC = 6,941%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,544 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Atsakymas
P = 0,3446
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,3077
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077
Atsakymas
P = 0,3077
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 1,609
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Tiesinis pokytis
σY = |2|·0,8047 = 1,609
Atsakymas
σY = 1,609
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·1,05 + 4 = 6,1.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,3526
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (57,5 − 65)/10 = −0,75
z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2
Plotas tarp
P = Φ(0,2) − Φ(−0,75) = 0,5793 − 0,2266 = 0,3526
Atsakymas
P = 0,3526
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 107,8 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 100 + 0,52·15 = 107,8 tšk.
Atsakymas
x = 107,8 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 98,6
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Paklaidos riba
E = 1,86·20/√9 = 12,4
Intervalas
111 ± 12,4 → [98,6, 123,4]
Atsakymas
apatinis rėžis = 98,6
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −3,631 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (6·6,5² + 18·4,5²)/24 = 25,75
sp = 5,074
Paklaidos riba
E = 2,064·5,074·√(1/7 + 1/19) = 4,631
Intervalas
1 ± 4,631 → [−3,631, 5,631]
Atsakymas
apatinis rėžis = −3,631 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,609
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,008
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 136/5 = 27,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Syy = Σ(y − ȳ)² = 644,8
Determinacijos koeficientas
r² = 160²/(40·644,8) = 0,9926
Atsakymas
r² = 0,9926
Apie 99,26% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −2,848
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 338/6 = 56,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158
Regresijos tiesė
b = 158/70 = 2,257
a = 56,33 − 2,257·6 = 42,79
ŷ = 42,79 + 2,257·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 42,79 + 2,257·8 = 60,85
Liekana
e = 58 − 60,85 = −2,848
Atsakymas
e = −2,848
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.