Po 2 metų jums reikės €50 000. Sąskaita moka 2 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €50 0002% / 4n = 2
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€8 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 5 metus. Palūkanų norma – 5,4 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €8 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €34 000, €27 000, €17 000, €21 000. Kapitalo kaina – 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €9 000, €17 000, €18 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 9 000CF2 = 17 000CF3 = 18 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 9% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4%YTM = 9%n = 4
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija parduodama už €1 005, jos pajamingumas iki išpirkimo 7% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 3,4 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas sumažėja 25 baziniais punktais.
P0 = €1 005y = 7%D = 3,4Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 1,4, reikalaujama grąža 9,1%. Nerizikinga norma 3,5%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 1,4re = 9,1%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Esant dabartiniam skolos ir nuosavo kapitalo santykiui 0,5, įmonės akcijų beta 1,3. Ji planuoja padidinti skolos ir nuosavo kapitalo santykį iki 1,25. Mokesčio tarifas 25%, nerizikinga norma 2%, o rinkos rizikos premija 7%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re po pakeitimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 104,8?
μ = 100σ = 12x = 104,8
P =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 9 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 9k = 4
N =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 6 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,7, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?
n = 6p = 0,7k = 1
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,3821. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,3821
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).
μ = 65σ = 10P = 25%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
13 elementų imties vidurkis – 29, standartinis nuokrypis s = 11. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 13x̄ = 29s = 1195%t(12) = 2,179
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?
σ = 20E = 595%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 23 studentų, vidutinis rezultatas 116, standartinis nuokrypis 9. 2 grupė: 8 studentų, vidutinis rezultatas 112,8, standartinis nuokrypis 7. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 23x̄₁ = 116s₁ = 9n₂ = 8x̄₂ = 112,8s₂ = 7
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 10E = 0,599%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 8.
n = 5x = 8
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 48044 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·2 = 8
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,041 = €48 044,26
Atsakymas
PV = €48 044,26
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 152,4 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·5 = 60
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,7638
A = 8 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €152,44
Atsakymas
A = €152,44
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 2328 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 34 000/1,12 = 30 357,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 27 000/1,254 = 21 524,23
CF3/(1 + 0,12)3 = 17 000/1,405 = 12 100,26
CF4/(1 + 0,12)4 = 21 000/1,574 = 13 345,88
Sudėkite
NPV = €2 327,52
Atsakymas
NPV = €2 327,52
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 31,01 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(30%) = 402,82
NPV(35%) = −1 486,31
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, i = 0,045, N = 8
Kuponų dabartinė vertė
€20,00·(1 − 0,7032)/0,045 = €131,92
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,7032 = €703,19
Kaina
P = €835,10
Atsakymas
P = €835,10
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1013 €
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifikuotoji trukmė
Dmod = 3,4/1,07 = 3,178
Įvertintas kainos pokytis
%ΔP ≈ −3,178·(−0,0025) = 0,7944%
P ≈ 1005·(1 + 0,007944) = €1 012,98
Atsakymas
P = €1 012,98
Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 7,5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (9,1% − 3,5%)/1,4 = 4%
Rinkos grąža
rm = 3,5% + 4% = 7,5%
Atsakymas
rm = 7,5%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 14,82 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Pašalinkite skolos poveikį beta
βU = 1,3/(1 + 0,75·0,5) = 0,9455
Perskaičiuokite su nauju D/E
βL = 0,9455·(1 + 0,75·1,25) = 1,832
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 1,832·7% = 14,82%
Atsakymas
re = 14,82%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 12,79
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Atsakymas
P = 0,3446
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 126
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
Atsakymas
N = 126
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,01021
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 1) = 6·0,71·0,35 = 6·0,7·0,00243 = 0,01021
Atsakymas
P = 0,01021
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,3
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,3821 = 0,6179
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,6179 ir nuskaitykite z.
z = 0,30
Atsakymas
z = 0,30
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 58,26 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Atgal į x
x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 tšk.
Atsakymas
x = 58,26 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 6,648
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Paklaidos riba
E = 2,179·11/√13 = 6,648
Atsakymas
E = 6,648
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 62
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·20/5)² = 61,47
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 62
Atsakymas
n = 62
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 0,9107
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (22·9² + 7·7²)/29 = 73,28
sp = 8,56
Standartinė paklaida
SE = 8,56·√(1/23 + 1/8) = 3,514
Testo statistika
t = (116 − 112,8)/3,514 = 0,9107
Atsakymas
t = 0,9107
Kai df = 29, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,045; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 2655
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (2,576·10/0,5)² = 2654
Apvalinkite aukštyn
n = 2655
Atsakymas
n = 2655
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9919
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 419/5 = 83,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 435
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2137
Koreliacijos koeficientas
r = 435/√(90·2137) = 0,9919
Atsakymas
r = 0,9919
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 70,05
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 303/5 = 60,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Regresijos tiesė
b = 126/40 = 3,15
a = 60,6 − 3,15·5 = 44,85
ŷ = 44,85 + 3,15·x
Prognozė
ŷ = 44,85 + 3,15·8 = 70,05
Atsakymas
ŷ = 70,05
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.