Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €8 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 1% per metus. Reikalaujama grąža 3% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €8 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 7 metų įnešate €6 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 6% per metus. Kiek bus sąskaitoje 7-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €6 000i = 6%n = 7
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €200 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €13 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 4% per metus. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €200 000CF1 = €13 000g = 4%r = 10%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €14 000, €14 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −20 000CF1 = 14 000CF2 = 14 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 10 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €711, kai pajamingumas iki išpirkimo 9%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 10P = €711YTM = 9%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 9 metų. Ji parduodama už €1 120. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 4% (2×)n = 9P = €1 120
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €6 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 13%, skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €37,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 28%. Akcijos beta koeficientas – 1,3, nerizikinga palūkanų norma – 1%, rinkos grąža – 6%. Raskite WACC.
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 110,1 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 110,1 s
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 2,7. Kokia yra tų pačių duomenų 99 % intervalo paklaidos riba E₂?
90%n₁ = 64E₁ = 2,799%
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 6,7 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.
n = 21s = 6,7 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 502,6, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,6s = 10n = 64
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
100 matavimų imties vidurkis – 499,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 499,5σ = 4n = 10095%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (4,5, 24). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 24)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 400000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,06)7 − 1)/0,06 = 8,394
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 6 000·8,394·1,06 = €53 384,81
Atsakymas
FV = €53 384,81
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 16667 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 13 000/(0,1 − 0,04) = 216 666,67
NPV
NPV = 216 666,67 − 200 000 = €16 666,67
Atsakymas
NPV = €16 666,67
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 25,69 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 160,00
NPV(30%) = −946,75
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 25 + 5·160,00/(160,00 − (−946,75)) = 25,72%
tiksliai: NPV(25,69%) = 0 → IRR = 25,69%
Atsakymas
IRR = 25,69%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 4,497 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,09)−10 = €422,41
Kuponas
C = (711 − 422,41)/6,418 = €44,97
Kupono norma
c = 44,97/1000 = 4,497%
Atsakymas
c = 4,497%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 2,503 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, N = 18
Skaitinis sprendimas
i = 1,251% per pusmetį
YTM
YTM = 2·1,251% = 2,503%
Atsakymas
YTM = 2,503%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,685 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 7,685%
Atsakymas
WACC = 7,685%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,705 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Atsakymas
P = 0,06681
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 78
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78
Atsakymas
N = 78
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 0,5449
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,25, Var(X) = 1,188, σX = 1,09
Tiesinis pokytis
σY = |0,5|·1,09 = 0,5449
Atsakymas
σY = 0,5449
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·2,25 + 4 = 5,125.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,2119
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standartizuokite
z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Atsakymas
P = 0,2119
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9452
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Atsakymas
P = 0,9452
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 4,228
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/64) = 1,566
Nauja paklaidos riba
E₂ = 2,7·1,566 = 4,228
Atsakymas
E₂ = 4,228
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 5,126 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 20·6,7² = 897,8
σ² rėžiai
897,8/34,17 = 26,27
897,8/9,591 = 93,61
σ rėžis
σ = √26,27 = 5,126 µm
Atsakymas
σ = 5,126 µm
σ 95 % intervalas: [5,126, 9,675] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,08
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 498,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·4/√100 = 0,784
Intervalo rėžis
L = 499,5 − 0,784 = 498,7
Atsakymas
L = 498,7
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9497
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 529/6 = 88,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 289
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1323
Koreliacijos koeficientas
r = 289/√(70·1323) = 0,9497
Atsakymas
r = 0,9497
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 2,005
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 139/6 = 23,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20,5
Regresijos tiesė
b = −20,5/17,5 = −1,171
a = 23,17 − (−1,171)·3,5 = 27,27
ŷ = 27,27 − 1,171·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 27,27 + (−1,171)·4,5 = 22
Liekana
e = 24 − 22 = 2,005
Atsakymas
e = 2,005
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.