Po 9 metų jums reikės €40 000. Sąskaita moka 4,8 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €40 0004,8% / 12n = 9
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 27 metų įnešate €6 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 6% per metus. Kiek bus sąskaitoje 27-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €6 000i = 6%n = 27
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€30 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €6 000, €11 000, €8 000, €15 000. Kapitalo kaina – 7,000000000000001 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas A kainuoja €30 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €17 500, €11 500, €7 000. Projektas B kainuoja €35 000 ir grąžina po €9 500, €14 500, €20 000. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 12 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 6%YTM = 3%n = 12
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 11 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 7%), parduodama už €1 213. Emitentas gali ją išpirkti po 6 metų už €1 070 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 7%P = €1 213išpirkimo kaina = €1 070išpirkimas po 6 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė finansuojama €8 000 000 vertės paprastosiomis akcijomis, €2 000 000 vertės privilegijuotosiomis akcijomis ir €3 000 000 vertės skola. Nuosavo kapitalo kaina 12%, privilegijuotųjų akcijų kaina 6%, skolos kaina prieš mokesčius 4%. Mokesčio tarifas 25%. Raskite WACC.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,6. Ji planuoja 0,25 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 30%, nerizikinga norma 3%, o rinkos rizikos premija 7%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 177,5 z įvertį z.
μ = 170σ = 5x = 177,5
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,1, 0,2
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 10 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?
n = 10p = 0,3k = 5
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 30,8 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 30,8 min
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 80 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 37. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?
σ = 37E = 1,590%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
49 studentų imties vidutinis rezultatas – 198,7, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,7s = 4n = 49
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 38 iš 250 pacientų, gydytų A būdu, ir 9 iš 150 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 38n₁ = 250x₂ = 9n₂ = 150
z =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 24?
n = 5ŷ = 24
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 25991 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·9 = 108
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,539 = €25 990,76
Atsakymas
PV = €25 990,76
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 405169 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,06)27 − 1)/0,06 = 63,71
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 6 000·63,71·1,06 = €405 168,67
Atsakymas
FV = €405 168,67
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 3189 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 6 000/1,07 = 5 607,48
CF2/(1 + 0,07)2 = 11 000/1,145 = 9 607,83
CF3/(1 + 0,07)3 = 8 000/1,225 = 6 530,38
CF4/(1 + 0,07)4 = 15 000/1,311 = 11 443,43
Sudėkite
NPV = €3 189,11
Atsakymas
NPV = €3 189,11
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 9,893 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 500 − 17 500 = −8 000
ΔCF2 = 14 500 − 11 500 = 3 000
ΔCF3 = 20 000 − 7 000 = 13 000
Skirtumo IRR
NPVΔ(9%) = 223,98
NPVΔ(10%) = −26,30
r* = 9,893%
Atsakymas
r* = 9,893%
Patikra: esant 9,893%, abi NPV lygios €721,79.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1300 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €30,00, i = 0,015, N = 24
Kuponų dabartinė vertė
€30,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €600,91
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,6995 = €699,54
Kaina
P = €1 300,46
Atsakymas
P = €1 300,46
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTC = 3,993 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1213 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Skaitinis sprendimas
y = 3%: €1 275,31
y = 4%: €1 212,59
YTC = 3,993%
Atsakymas
YTC = 3,993%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 4,502%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 0,6·(1 + 0,7·0,25) = 0,705
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 3% + 0,705·7% = 7,935%
Atsakymas
re = 7,935%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,97
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (177,5 − 170)/5 = 1,5
Atsakymas
z = 1,5
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,99
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standartizuokite
z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844
Atsakymas
P = 0,6844
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 87,4 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,2
z iš lentelės
z ≈ −0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 100 − 0,84·15 = 87,4 tšk.
Atsakymas
x = 87,4 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 96,06
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 7, t = 2,365
Paklaidos riba
E = 2,365·9,5/√8 = 7,943
Intervalas
104 ± 7,943 → [96,06, 111,9]
Atsakymas
apatinis rėžis = 96,06
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1647
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·37/1,5)² = 1646
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 1647
Atsakymas
n = 1647
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,275
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 2,766
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 378/6 = 63
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85
Syy = Σ(y − ȳ)² = 444
Koreliacijos koeficientas
r = 85/√(17,5·444) = 0,9643
Atsakymas
r = 0,9643
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 1,485
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Regresijos tiesė
b = −33/10 = −3,3
a = 19 − (−3,3)·3 = 28,9
ŷ = 28,9 − 3,3·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (24 − 28,9)/(−3,3) = 1,485
Atsakymas
x = 1,485
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.