CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Anuitetas 14 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €8 000. Palūkanų norma 10% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.

A = €8 000i = 10%n = 14

PV = €

2.Pinigų vertė laikeSunkus

€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 20 metų, esant 3% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?

P = €150 0003% / 12N = 240

I = €

3.NPV ir IRRVidutinis

€20 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €10 000, €5 000, €8 000, €4 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 5 000CF₃ = 8 000CF₄ = 4 000

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €11 000, €7 500, €7 500. Pinigų srautus galima reinvestuoti 6 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 7 500CF₃ = 7 500

MIRR = %

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 12 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €949, kai pajamingumas iki išpirkimo 2,5%. Raskite kupono normą c procentais.

F = €1 000n = 12P = €949YTM = 2,5%

c = %

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 6 metų. Ji parduodama už €949. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.

F = €1 000kuponas = 4% (2×)n = 6P = €949

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 0,4. Jos nuosavo kapitalo kaina 9%, skolos kaina prieš mokesčius 6%, o mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC.

D/E = 0,4r_e = 9%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €53,00 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €980. Skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 25,8%. Akcijos beta koeficientas – 0,8, nerizikinga palūkanų norma – 3,5%, rinkos grąža – 8%. Raskite WACC.

β = 0,8r_f = 3,5%r_m = 8%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 11, 26, 26, 31, 28, 58.

n = 7

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 62?

μ = 50σ = 12x = 62

P =

11.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,2, 0,15

Var(X) =

12.TikimybėSunkus

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,25, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?

n = 11p = 0,25k = 2

P =

13.Normalusis skirstinysVidutinis

keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 12 iš jų bendra masė viršija 999,2 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 999,2 kg

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 25 % reikšmių (25-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 36 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,5. Kokia yra tų pačių duomenų 99 % intervalo paklaidos riba E₂?

90%n₁ = 36E₁ = 4,599%

E₂ =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 25. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 25E = 0,599%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 115,3, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,3s = 15n = 49

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 matavimų imties vidurkis – 501,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 501,3σ = 5n = 2590%

L =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 27Σy = 393Σx² = 139Σy² = 25971Σxy = 1818

r =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5,5, 64). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(5,5, 64)

e =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 58933 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Anuiteto koeficientas

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2633)/0,1 = 7,367

Dabartinė vertė

PV = 8 000·7,367 = €58 933,50

Atsakymas

PV = €58 933,50

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: I = 49655 €

Mėnesinė įmoka

i = 0,0025, N = 240

A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁴⁰) = €831,90

Iš viso palūkanų

I = N·A − P = 240·831,9 − 150 000 = €49 655,14

Atsakymas

I = €49 655,14

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 3769 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 10 000/1,06 = 9 433,96

CF₂/(1 + 0,06)² = 5 000/1,124 = 4 449,98

CF₃/(1 + 0,06)³ = 8 000/1,191 = 6 716,95

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 4 000/1,262 = 3 168,37

Sudėkite

NPV = €3 769,27

Atsakymas

NPV = €3 769,27

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: MIRR = 11,61 %

Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Įplaukų galinė vertė

11 000·1,06² = 12 359,60

7 500·1,06¹ = 7 950,00

7 500·1,06⁰ = 7 500,00

TV = 27 809,60

MIRR

MIRR = (27 809,60/20 000)^1/3 − 1 = 11,61%

Atsakymas

MIRR = 11,61%

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: c = 2,003 %

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Nominalios vertės dabartinė vertė

1000·(1 + 0,025)⁻¹² = €743,56

Kuponas

C = (949 − 743,56)/10,26 = €20,03

Kupono norma

c = 20,03/1000 = 2,003%

Atsakymas

c = 2,003%

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 4,994 %

Vienam laikotarpiui

C = €20,00, N = 12

Skaitinis sprendimas

i = 2,497% per pusmetį

YTM

YTM = 2·2,497% = 4,994%

Atsakymas

YTM = 4,994%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 7,701 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai iš D/E

E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143

D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·9% + 0,2857·6%·(1 − 0,258) = 7,701%

Atsakymas

WACC = 7,701%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 6,472 %

Rinkos vertės

E = 2 500 000·€53,00 = €132 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,8·4,5% = 7,1%

Svoriai

V = €152 100 000, E/V = 0,8711, D/V = 0,1289

WACC

WACC = 0,8711·7,1% + 0,1289·3%·(1 − 0,258) = 6,472%

Atsakymas

WACC = 6,472%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,28

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 217/7 = 31

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 6² + (−20)² + (−5)² + (−5)² + 0² + (−3)² + 27² = 1224

Standartinis nuokrypis

s = √(1224/6) = 14,28

Atsakymas

s = 14,28

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Standartizuokite

z = 1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

11.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,01

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,2 + 5·0,15 = 2,7

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,2 + 25·0,15 = 9,3

Dispersija

Var(X) = 9,3 − 2,7² = 2,01

Atsakymas

Var(X) = 2,01

12.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2581

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 2) = 55·0,25²·0,75⁹ = 55·0,0625·0,07508 = 0,2581

Atsakymas

P = 0,2581

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,6915

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41,57 kg

Standartizuokite

z = (999,2 − 1020)/41,57 = −0,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 173,3 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Atgal į x

x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm

Atsakymas

x = 173,28 cm

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 7,047

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566

Nauja paklaidos riba

E₂ = 4,5·1,566 = 7,047

Atsakymas

E₂ = 7,047

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 16590

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·25/0,5)² = 16589

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 16590

Atsakymas

n = 16590

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,193

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Testo statistika

t = (115,3 − 120)/2,143 = −2,193

Atsakymas

t = −2,193

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 499,7

Paklaidos riba

E = 1,645·5/√25 = 1,645

Intervalo rėžis

L = 501,3 − 1,645 = 499,7

Atsakymas

L = 499,7

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,7811

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 1818 − 27·393/6 = 49,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 25971 − 393²/6 = 229,5

Koreliacijos koeficientas

r = 49,5/√(17,5·229,5) = 0,7811

Atsakymas

r = 0,7811

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −3,7

Vidurkiai

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 301/5 = 60,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50

Regresijos tiesė

b = 50/10 = 5

a = 60,2 − 5·4 = 40,2

ŷ = 40,2 + 5·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 40,2 + 5·5,5 = 67,7

Liekana

e = 64 − 67,7 = −3,7

Atsakymas

e = −3,7

Taškas yra po tiese.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income