Po 5 metų jums reikės €15 000. Sąskaita moka 5 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €15 0005% / 12n = 5
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 14 metus atidedate €250. Sąskaita moka 2,4 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €2502,4% / 12N = 168
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€30 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €8 000, €11 000, €7 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas A kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €6 000, €4 000, €2 000. Projektas B kainuoja €12 000 ir grąžina po €3 500, €4 500, €7 000. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą ir išperkama po 15 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 9% iki 9,5%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 8%n = 15y1 = 9%y2 = 9,5%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 8%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €940. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 9P = €940
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €12 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 25%. Raskite WACC.
Įmonė turi 5 000 000 akcijų po €8,00 ir 5 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 0,9, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 7,5%. Raskite WACC.
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 20,3 ir 35,3 min? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 32σ = 6x1 = 20,3x2 = 35,3
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
7 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 3,4, o standartinis nuokrypis 3,8. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 7d̄ = 3,4sd = 3,899%t(6) = 3,707
apatinis rėžis = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,7. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,025?
p ≈ 0,7E = 0,02595%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 120; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 15. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 125,76. Tikrinkite H₀: μ = 120 prieš H₁: μ ≠ 120. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 120σ = 15n = 25x̄ = 125,76H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 20. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (9, 32). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(9, 32)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 11688 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·5 = 60
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,283 = €11 688,08
Atsakymas
PV = €11 688,08
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 49859 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 8 000/1,08 = 7 407,41
CF2/(1 + 0,08)2 = 11 000/1,166 = 9 430,73
CF3/(1 + 0,08)3 = 7 000/1,26 = 5 556,83
Sudėkite
NPV = €−7 605,04
Atsakymas
NPV = €−7 605,04
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 8,873 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 6 000 = −2 500
ΔCF2 = 4 500 − 4 000 = 500
ΔCF3 = 7 000 − 2 000 = 5 000
Skirtumo IRR
NPVΔ(8%) = 83,02
NPVΔ(9%) = −11,82
r* = 8,873%
Atsakymas
r* = 8,873%
Patikra: esant 8,873%, abi NPV lygios €435,34.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: ΔP = −36,82 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(9%) = €940,05, P(10%) = €884,82
YTM = 9,001%
Atsakymas
YTM = 9,001%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 10,66 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 5 000 000·€8,00 = €40 000 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2,5% + 0,9·5% = 7%
Svoriai
V = €44 800 000, E/V = 0,8929, D/V = 0,1071
WACC
WACC = 0,8929·7% + 0,1071·5%·(1 − 0,2) = 6,679%
Atsakymas
WACC = 6,679%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,86
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Atsakymas
P = 0,06681
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 56
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56
Atsakymas
N = 56
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 25,61
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 26, Var(X) = 164, σX = 12,81
Tiesinis pokytis
σY = |2|·12,81 = 25,61
Atsakymas
σY = 25,61
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·26 + 4 = 56.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6833
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Atsakymas
P = 0,9452
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −1,924 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 6, t = 3,707
Paklaidos riba
E = 3,707·3,8/√7 = 5,324
Intervalas
3,4 ± 5,324 → [−1,924, 8,724]
Atsakymas
apatinis rėžis = −1,924 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1291
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,96²·0,7·0,3/0,025² = 1291
Apvalinkite aukštyn
n = 1291
Atsakymas
n = 1291
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,05486
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 15/√25 = 3
z = (125,76 − 120)/3 = 1,92
Uodegos plotas
Φ(1,92) = 0,9726
1 − Φ(1,92) = 0,0274
p reikšmė
p = 2·0,0274 = 0,05486
Atsakymas
p = 0,05486
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 643
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 0,842)·20/2,5)² = 642,3
Apvalinkite aukštyn
n = 643
Atsakymas
n = 643
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9492
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 269/5 = 53,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 194,8
Determinacijos koeficientas
r² = 43²/(10·194,8) = 0,9492
Atsakymas
r² = 0,9492
Apie 94,92% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 4,9
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 98/5 = 19,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Regresijos tiesė
b = 100/40 = 2,5
a = 19,6 − 2,5·6 = 4,6
ŷ = 4,6 + 2,5·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 4,6 + 2,5·9 = 27,1
Liekana
e = 32 − 27,1 = 4,9
Atsakymas
e = 4,9
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.