Investuojate €20 000 esant 7% metinei normai su tolydžiuoju kapitalizavimu. Raskite vertę FV po 9 metų.
PV = €20 000r = 7%t = 9
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 20 metų, esant 4,8% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 3-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.
P = €150 0004,8% / 12N = 240k = 36
B = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €100 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €10 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 4% per metus. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €100 000CF1 = €10 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €12 500, €16 000, €9 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 16 000CF3 = 9 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 3 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 8%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 9%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 8,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 3y0 = 9%y1 = 8,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 7%, išperkama po 7 metų ir parduodama už €1 055. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 7%n = 7P = €1 055
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė finansuojama €10 000 000 vertės paprastosiomis akcijomis, €2 000 000 vertės privilegijuotosiomis akcijomis ir €4 000 000 vertės skola. Nuosavo kapitalo kaina 12%, privilegijuotųjų akcijų kaina 8%, skolos kaina prieš mokesčius 4,5%. Mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC.
Įmonė turi 4 000 000 akcijų, kurių kaina €59,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €142 800 000. Ji ką tik išmokėjo €1,60 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 4% per metus. Jos skolos rinkos vertė €119 000 000, o kaina prieš mokesčius 4%. Mokesčio tarifas 25%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,8882. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8882
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
13 elementų imties vidurkis – 95,5, standartinis nuokrypis s = 15,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 13x̄ = 95,5s = 15,599%t(12) = 3,055
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 39. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?
σ = 39E = 0,599%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 15,76, o skirtumų standartinis nuokrypis 9,9. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 15,76sd = 9,9
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 105 iš 150 pacientų, gydytų A būdu, ir 66 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 150x₂ = 66n₂ = 100
z =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.
n = 5x = 5,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 37552 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laipsnio rodiklis
r·t = 0,07·9 = 0,63
e0,63 = 1,878
Būsimoji vertė
FV = 20 000·1,878 = €37 552,21
Atsakymas
FV = €37 552,21
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: B = 135571 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesinė įmoka
i = 0,004, N = 240
A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−240) = €973,44
Likusių įmokų dabartinė vertė
Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.
N − k = 240 − 36 = 204
B = 973,4·(1 − (1 + 0,004)−204)/0,004 = €135 571,13
Atsakymas
B = €135 571,13
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 25000 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 10 000/(0,12 − 0,04) = 125 000,00
NPV
NPV = 125 000,00 − 100 000 = €25 000,00
Atsakymas
NPV = €25 000,00
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 24,57 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 1 736,11
NPV(25%) = −152,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Skaitinis sprendimas
P(6%) = €1 055,82, P(7%) = €1 000,00
YTM = 6,014%
Atsakymas
YTM = 6,014%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,335 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,062
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,65
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,3 = 8,15
Dispersija
Var(X) = 8,15 − 2,65² = 1,127
σ = √1,127 = 1,062
Atsakymas
σ = 1,062
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 2,646
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,5, Var(X) = 1,75, σX = 1,323
Tiesinis pokytis
σY = |−2|·1,323 = 2,646
Atsakymas
σY = 2,646
Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·2,5 − 3 = −8.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,59
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,8882)/2 = 0,9441
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9441 ir nuskaitykite z.
z = 1,59
Atsakymas
z = 1,59
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 22,13 min
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Atgal į x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Atsakymas
x = 22,13 min
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 13,13
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Paklaidos riba
E = 3,055·15,5/√13 = 13,13
Atsakymas
E = 13,13
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 40373
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·39/0,5)² = 40372
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 40373
Atsakymas
n = 40373
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 3,899
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 9,9/√6 = 4,042
Testo statistika
t = 15,76/4,042 = 3,899
Atsakymas
t = 3,899
Kai df = 5, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,571; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 0,6664
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 262/6 = 43,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38
Syy = Σ(y − ȳ)² = 107,3
Koreliacijos koeficientas
r = 38/√(17,5·107,3) = 0,8768
Atsakymas
r = 0,8768
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 84,7
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 377/5 = 75,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Regresijos tiesė
b = 62/10 = 6,2
a = 75,4 − 6,2·4 = 50,6
ŷ = 50,6 + 6,2·x
Prognozė
ŷ = 50,6 + 6,2·5,5 = 84,7
Atsakymas
ŷ = 84,7
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.