Anuitetas 7 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €1 000. Palūkanų norma 10% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €1 000i = 10%n = 7
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 13 metus atidedate €200. Sąskaita moka 2,4 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €2002,4% / 12N = 156
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€60 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €26 000, €13 000, €22 000. Kapitalo kaina – 10 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €4 000, €7 500, €4 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 7 500CF3 = 4 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą ir išperkama po 15 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 7% iki 7,5%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 4,5%n = 15y1 = 7%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 11 metų. Ji parduodama už €1 080. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 7% (2×)n = 11P = €1 080
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €3 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €3 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 28%. Raskite WACC.
E = €3 000 000D = €3 000 000re = 8%rd = 5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €37,50 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 050. Skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 25%. Akcijos beta koeficientas – 1,5, nerizikinga palūkanų norma – 4%, rinkos grąža – 9%. Raskite WACC.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Raskite rezultato 575 z įvertį z.
μ = 500σ = 75x = 575
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,15, 0,15, 0,3, 0,25
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €3. Laimite €6 su tikimybe 0,15 ir €60 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €3€6: p = 0,15€60: p = 0,02
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 488 ir 510 h? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 500σ = 40x1 = 488x2 = 510
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 25 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.25%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 1,1, o standartinis nuokrypis 2,2. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 15d̄ = 1,1sd = 2,295%t(14) = 2,145
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 8,5 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.
n = 15s = 8,5 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 120; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 6. Atsitiktinės 36 stebėjimų imties vidurkis 122,46. Tikrinkite H₀: μ = 120 prieš H₁: μ > 120. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 120σ = 6n = 36x̄ = 122,46H₁: μ > μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
81 matavimų imties vidurkis – 200,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 200,2σ = 4n = 8195%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 42Σy = 81Σx² = 364Σy² = 1375Σxy = 704
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 4868 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5132)/0,1 = 4,868
Dabartinė vertė
PV = 1 000·4,868 = €4 868,42
Atsakymas
PV = €4 868,42
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 36573 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 26 000/1,1 = 23 636,36
CF2/(1 + 0,1)2 = 13 000/1,21 = 10 743,80
CF3/(1 + 0,1)3 = 22 000/1,331 = 16 528,93
Sudėkite
NPV = €−9 090,91
Atsakymas
NPV = €−9 090,91
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 25,32 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 48,00
NPV(30%) = −664,54
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 25 + 5·48,00/(48,00 − (−664,54)) = 25,34%
tiksliai: NPV(25,32%) = 0 → IRR = 25,32%
Atsakymas
IRR = 25,32%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: ΔP = −37,12 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €35,00, N = 22
Skaitinis sprendimas
i = 2,998% per pusmetį
YTM
YTM = 2·2,998% = 5,996%
Atsakymas
YTM = 5,996%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,8 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8% + 0,5·5%·(1 − 0,28) = 5,8%
Atsakymas
WACC = 5,8%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,944 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 2 500 000·€37,50 = €93 750 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 4% + 1,5·5% = 11,5%
Svoriai
V = €114 750 000, E/V = 0,817, D/V = 0,183
WACC
WACC = 0,817·11,5% + 0,183·4%·(1 − 0,25) = 9,944%
Atsakymas
WACC = 9,944%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11,43
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (575 − 500)/75 = 1
Atsakymas
z = 1
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,928
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 3 (p = 0,15), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)
Laukiamoji vertė
E(G) = 3·0,15 + 57·0,02 − 3·0,83 = −0,9 €
Atsakymas
E(G) = −0,9 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,2166
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3
z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25
Plotas tarp
P = Φ(0,25) − Φ(−0,3) = 0,5987 − 0,3821 = 0,2166
Atsakymas
P = 0,2166
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 71,7 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,75
z iš lentelės
z ≈ 0,67
Atgal į pradinius vienetus
x = 65 + 0,67·10 = 71,7 tšk.
Atsakymas
x = 71,7 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 1,218 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 14, t = 2,145
Paklaidos riba
E = 2,145·2,2/√15 = 1,218
Atsakymas
E = 1,218 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 13,41 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 14·8,5² = 1012
σ² rėžiai
1012/26,119 = 38,73
1012/5,629 = 179,7
σ rėžis
σ = √179,7 = 13,41 µm
Atsakymas
σ = 13,41 µm
σ 95 % intervalas: [6,223, 13,41] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,006947
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (122,46 − 120)/1 = 2,46
Uodegos plotas
Φ(2,46) = 0,9931
1 − Φ(2,46) = 0,0069
p reikšmė
p = 0,006947
Atsakymas
p = 0,006947
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 201,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·4/√81 = 0,8711
Intervalo rėžis
U = 200,2 + 0,8711 = 201,1
Atsakymas
U = 201,1
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,976
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 704 − 42·81/6 = 137
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1375 − 81²/6 = 281,5
Koreliacijos koeficientas
r = 137/√(70·281,5) = 0,976
Atsakymas
r = 0,976
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 15,84
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 106/6 = 17,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Regresijos tiesė
b = −32/17,5 = −1,829
a = 17,67 − (−1,829)·3,5 = 24,07
ŷ = 24,07 − 1,829·x
Prognozė
ŷ = 24,07 + (−1,829)·4,5 = 15,84
Atsakymas
ŷ = 15,84
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.