CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Anuitetas 7 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €2 000. Palūkanų norma 10% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.

A = €2 000i = 10%n = 7

PV = €

2.Pinigų vertė laikeSunkus

€10 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 4 metų, esant 4,2% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?

P = €10 0004,2% / 12N = 48

I = €

3.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €500 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €32 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 4% per metus. Kapitalo kaina 9%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €32 000g = 4%r = 9%

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas šiandien kainuoja €150 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €15 000 ir auga 3 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 9-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €15 000g = 3%n = 9r = 8%

NPV = €

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 5 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 8%YTM = 3,5%n = 5

P = €

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą ir išperkama po 3 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 3%. Raskite Macaulay trukmę D metais.

F = €1 000kuponas = 5%n = 3YTM = 3%

D = metai

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonės nuosavas kapitalas vertas €10 000 000, o skola – €5 000 000. Jos WACC 8,46%, skolos kaina prieš mokesčius 4,5%, o mokesčio tarifas 25%. Raskite nuosavo kapitalo kainą r_e.

E = €10 000 000D = €5 000 000WACC = 8,46%r_d = 4,5%T = 25%

r_e = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonė turi 5 000 000 akcijų po €10,00 ir 5 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 28%. Akcijos beta koeficientas – 0,9, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 7,5%. Raskite WACC.

β = 0,9r_f = 2,5%r_m = 7,5%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 11, 40, 48, 48, 59.

n = 5

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 54 z įvertį z.

μ = 60σ = 5x = 54

z =

11.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,35, 0,25

σ =

12.TikimybėSunkus

Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,25. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 9p = 0,25

P =

13.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9032. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9032

z =

14.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 60 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

8 elementų imties vidurkis – 34,5, standartinis nuokrypis s = 13,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 8x̄ = 34,5s = 13,595%t(7) = 2,365

viršutinis rėžis =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?

σ = 20E = 495%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 13 studentų, vidutinis rezultatas 81, standartinis nuokrypis 9. 2 grupė: 18 studentų, vidutinis rezultatas 85,1, standartinis nuokrypis 9,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 13x̄₁ = 81s₁ = 9n₂ = 18x̄₂ = 85,1s₂ = 9,5

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 3 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 24. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 80%δ = 3σ = 24z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 9737 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Anuiteto koeficientas

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5132)/0,1 = 4,868

Dabartinė vertė

PV = 2 000·4,868 = €9 736,84

Atsakymas

PV = €9 736,84

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: I = 881 €

Mėnesinė įmoka

i = 0,0035, N = 48

A = 10 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻⁴⁸) = €226,69

Iš viso palūkanų

I = N·A − P = 48·226,7 − 10 000 = €880,96

Atsakymas

I = €880,96

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 140000 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Pinigų srautų vertė

PV = 32 000/(0,09 − 0,04) = 640 000,00

NPV

NPV = 640 000,00 − 500 000 = €140 000,00

Atsakymas

NPV = €140 000,00

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −45813 €

Augančio anuiteto dabartinė vertė

((1,03)/(1,08))⁹ = 0,6527

PV = 15 000/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,6527) = 104 186,57

NPV

NPV = 104 186,57 − 150 000 = −€45 813,43

Atsakymas

NPV = −€45 813,43

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: P = 1205 €

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Vienam laikotarpiui

C = €40,00, i = 0,0175, N = 10

Kuponų dabartinė vertė

€40,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €364,05

Nominalios vertės dabartinė vertė

€1 000·0,8407 = €840,73

Kaina

P = €1 204,78

Atsakymas

P = €1 204,78

Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: D = 2,864 metai

Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

t = 1: 50/1,03 = 48,54, t·PV = 48,54

t = 2: 50/1,061 = 47,13, t·PV = 94,26

t = 3: 1050/1,093 = 960,90, t·PV = 2 882,70

Trukmė

P = 1 056,57

D = 3 025,50/1 056,57 = 2,864

Atsakymas

D = 2,864 metai

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: r_e = 11 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC skolos dalis

0,3333·4,5%·(1 − 0,25) = 1,125%

Nuosavo kapitalo kaina

r_e = (8,46% − 1,125%)/0,6667 = 11%

Atsakymas

r_e = 11%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 6,685 %

Rinkos vertės

E = 5 000 000·€10,00 = €50 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,9·5% = 7%

Svoriai

V = €55 100 000, E/V = 0,9074, D/V = 0,09256

WACC

WACC = 0,9074·7% + 0,09256·5%·(1 − 0,28) = 6,685%

Atsakymas

WACC = 6,685%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,19

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 206/5 = 41,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−30,2)² + (−1,2)² + 6,8² + 6,8² + 17,8² = 1323

Standartinis nuokrypis

s = √(1323/4) = 18,19

Atsakymas

s = 18,19

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1,2

Standartizuokite

z = (54 − 60)/5 = −1,2

Atsakymas

z = −1,2

11.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,114

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,6

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,25 = 3,8

Dispersija

Var(X) = 3,8 − 1,6² = 1,24

σ = √1,24 = 1,114

Atsakymas

σ = 1,114

12.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,3003

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

Sudėkite

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

Atsakymas

P = 0,3003

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −1,3

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,9032 = 0,0968

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,0968 ir nuskaitykite z.

z = −1,30

Atsakymas

z = −1,30

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 248,8 g

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,4

z iš lentelės

z ≈ −0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Atsakymas

x = 248,8 g

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 45,79

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Paklaidos riba

E = 2,365·13,5/√8 = 11,29

Intervalas

34,5 ± 11,29 → [23,21, 45,79]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 45,79

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 97

Išreikškite n

n = (1,96·20/4)² = 96,04

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 97

Atsakymas

n = 97

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,212

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (12·9² + 17·9,5²)/29 = 86,42

s_p = 9,296

Standartinė paklaida

SE = 9,296·√(1/13 + 1/18) = 3,384

Testo statistika

t = (81 − 85,1)/3,384 = −1,212

Atsakymas

t = −1,212

Kai df = 29, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,045; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 643

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 0,842)·24/3)² = 642,3

Apvalinkite aukštyn

n = 643

Atsakymas

n = 643

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,981

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 495/6 = 82,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 309

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1418

Koreliacijos koeficientas

r = 309/√(70·1418) = 0,981

Atsakymas

r = 0,981

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 53,5

Vidurkiai

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 279/6 = 46,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122,5

Regresijos tiesė

b = 122,5/17,5 = 7

a = 46,5 − 7·4,5 = 15

ŷ = 15 + 7·x

Prognozė

ŷ = 15 + 7·5,5 = 53,5

Atsakymas

ŷ = 53,5

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income