Investuojate €5 000 esant 4,8 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 8 metų.
PV = €5 0004,8% / 12n = 8
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 9 metus atidedate €200. Sąskaita moka 3,6 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €2003,6% / 12N = 108
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €20 000, tarnauja 8 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €1 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 8%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €20 000M = €1 000n = 8r = 8%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
€80 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 5 metų grąžina €27 000. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €80 000CF = €27 000n = 5
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 10 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €915, kai pajamingumas iki išpirkimo 3%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 10P = €915YTM = 3%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 8%, išperkama po 6 metų ir parduodama už €955. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 6P = €955
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 0,6, reikalaujama grąža 5,5%. Nerizikinga norma 2,5%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 0,6re = 5,5%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 5 000 000 akcijų, kurių kaina €48,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €121 300 000. Ji ką tik išmokėjo €3,00 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 2% per metus. Jos skolos rinkos vertė €121 300 000, o kaina prieš mokesčius 4,5%. Mokesčio tarifas 28%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 40 z įvertį z.
μ = 50σ = 20x = 40
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15
σ =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 12 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?
n = 12p = 0,4k = 1
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
dėžės masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 12 kg, standartinis nuokrypis 0,8 kg. Raskite tikimybę P, kad 6 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 73 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 73 kg
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).
μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
9 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 4,3, o standartinis nuokrypis 2,4. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 9d̄ = 4,3sd = 2,490%t(8) = 1,86
apatinis rėžis = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
10 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 2,5 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 9, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 2,7, o 2,5 % – aukščiau 19,023.
n = 10s = 2,5 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
81 studentų imties vidutinis rezultatas – 71,89, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,89s = 20n = 81
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 200 prieš H₁: μ < 200 atliekamas, kai α = 0.01, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 12. Iš tikrųjų vidurkis lygus 195.05. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.
μ₀ = 200μ = 195,05σ = 12n = 64α = 0,01
β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2,5, 58). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 58)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 7335 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,08−8)/0,08 = 5,747
Metinė pirkimo kainos dalis
20 000/5,747 = 3 480,30
EAC
EAC = 3 480,30 + 1 000 = €4 480,30
Atsakymas
EAC = €4 480,30
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 20,42 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−5)/i = 80 000/27 000 = 2,963
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 20%: 2,991
i = 21%: 2,926
IRR = 20,42%
Atsakymas
IRR = 20,42%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 2,004 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,03)−10 = €744,09
Kuponas
C = (915 − 744,09)/8,53 = €20,04
Kupono norma
c = 20,04/1000 = 2,004%
Atsakymas
c = 2,004%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 9,003 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€955 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Skaitinis sprendimas
P(9%) = €955,14, P(10%) = €912,89
YTM = 9,003%
Atsakymas
YTM = 9,003%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 7,5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (5,5% − 2,5%)/0,6 = 5%
Rinkos grąža
rm = 2,5% + 5% = 7,5%
Atsakymas
rm = 7,5%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,619 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (40 − 50)/20 = −0,5
Atsakymas
z = −0,5
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 2,124
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,2 + 6·0,15 = 2,3
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,2 + 36·0,15 = 9,8
Dispersija
Var(X) = 9,8 − 2,3² = 4,51
σ = √4,51 = 2,124
Atsakymas
σ = 2,124
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,01741
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 72 kg, σT = 0,8·√6 = 1,96 kg
Standartizuokite
z = (73 − 72)/1,96 = 0,51
Tikimybė
P = Φ(0,51) = 0,695
Atsakymas
P = 0,695
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 37,05 min
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Atgal į x
x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min
Atsakymas
x = 37,05 min
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 2,812 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 8, t = 1,86
Paklaidos riba
E = 1,86·2,4/√9 = 1,488
Intervalas
4,3 ± 1,488 → [2,812, 5,788]
Atsakymas
apatinis rėžis = 2,812 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 1,72 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 9·2,5² = 56,25
σ² rėžiai
56,25/19,023 = 2,957
56,25/2,7 = 20,83
σ rėžis
σ = √2,957 = 1,72 µm
Atsakymas
σ = 1,72 µm
σ 95 % intervalas: [1,72, 4,564] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,399
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: β = 16,5 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 200 − 2,326·1,5 = 196,5
z esant tikrajam vidurkiui
z = (196,5 − 195,05)/1,5 = 0,974
II rūšies klaida
galia = P(Z < 0.974) = 83.5%
β = 100% − 83,5% = 16,5%
Atsakymas
β = 16,5%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9564
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 126/6 = 21
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47
Syy = Σ(y − ȳ)² = 138
Koreliacijos koeficientas
r = −47/√(17,5·138) = −0,9564
Atsakymas
r = −0,9564
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3,7
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 327/5 = 65,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Regresijos tiesė
b = 74/10 = 7,4
a = 65,4 − 7,4·3 = 43,2
ŷ = 43,2 + 7,4·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 43,2 + 7,4·2,5 = 61,7
Liekana
e = 58 − 61,7 = −3,7
Atsakymas
e = −3,7
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.