Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 20% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.
r = 20%m = 12
EAR = %
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 8 metus atidedate €500. Sąskaita moka 4,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €5004,2% / 12N = 96
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €27 000, €21 000, €25 000, €23 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
€50 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 4 metų grąžina €13 500. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €50 000CF = €13 500n = 4
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą ir išperkama po 14 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 5,5% iki 4%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 4%n = 14y1 = 5,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 5%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €900. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 9P = €900
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €12 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 1. Ji planuoja 0,4 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 25,8%, nerizikinga norma 3%, o rinkos rizikos premija 4,5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 58?
μ = 70σ = 15x = 58
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,25, 0,35
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €10 su tikimybe 0,3 ir €100 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€10: p = 0,3€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,8577. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8577
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 10,1. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 225 stebėjimų?
90%n₁ = 25E₁ = 10,1n₂ = 225
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
11 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 11,2 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 10, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 3,247, o 2,5 % – aukščiau 20,483.
n = 11s = 11,2 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 500; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 6. Atsitiktinės 36 stebėjimų imties vidurkis 497,9. Tikrinkite H₀: μ = 500 prieš H₁: μ < 500. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 500σ = 6n = 36x̄ = 497,9H₁: μ < μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
36 matavimų imties vidurkis – 119,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 119,2σ = 5n = 3699%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 155Σx² = 55Σy² = 4939Σxy = 493
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 114?
n = 6ŷ = 114
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: EAR = 21,94 %
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laikotarpio norma
r/m = 0,2/12 = 0,01667
Kapitalizuokite per vienus metus
EAR = (1 + 0,01667)12 − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%
Atsakymas
EAR = 21,94%
Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 56931 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 27 000/1,06 = 25 471,70
CF2/(1 + 0,06)2 = 21 000/1,124 = 18 689,93
CF3/(1 + 0,06)3 = 25 000/1,191 = 20 990,48
CF4/(1 + 0,06)4 = 23 000/1,262 = 18 218,15
Sudėkite
NPV = €8 370,26
Atsakymas
NPV = €8 370,26
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 3,151 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−4)/i = 50 000/13 500 = 3,704
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 3%: 3,717
i = 4%: 3,63
IRR = 3,151%
Atsakymas
IRR = 3,151%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: ΔP = 143,8 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€900 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(6%) = €931,98, P(7%) = €869,70
YTM = 6,503%
Atsakymas
YTM = 6,503%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,484 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 1·(1 + 0,742·0,4) = 1,297
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 3% + 1,297·4,5% = 8,836%
Atsakymas
re = 8,836%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 10,43
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,8
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Atsakymas
P = 0,2119
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,89
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,9
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,35 = 9,3
Dispersija
Var(X) = 9,3 − 2,9² = 0,89
Atsakymas
Var(X) = 0,89
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 3 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 8 (p = 0,3), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,68)
Laukiamoji vertė
E(G) = 8·0,3 + 98·0,02 − 2·0,68 = 3 €
Atsakymas
E(G) = 3 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = −1,07
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,8577 = 0,1423
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,1423 ir nuskaitykite z.
z = −1,07
Atsakymas
z = −1,07
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8413
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standartizuokite
z = (0 − 10)/10 = −1
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 3,367
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(25/225) = 0,3333
Nauja paklaidos riba
E₂ = 10,1·0,3333 = 3,367
Atsakymas
E₂ = 3,367
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 19,66 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 10·11,2² = 1254
σ² rėžiai
1254/20,483 = 61,24
1254/3,247 = 386,3
σ rėžis
σ = √386,3 = 19,66 µm
Atsakymas
σ = 19,66 µm
σ 95 % intervalas: [7,826, 19,66] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,01786
Hipotezių tikrinimas: testo statistika = (įvertis − reikšmė pagal H₀)/(standartinė paklaida pagal H₀). p reikšmė – tai tikimybė, darant prielaidą, kad H₀ teisinga, gauti statistiką, bent tokią pat kraštutinę kaip stebėtoji: vienos uodegos plotas vienpusei H₁, dvigubas uodegos plotas dvipusei H₁. H₀ atmetama, kai p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (497,9 − 500)/1 = −2,1
Uodegos plotas
Φ(2,1) = 0,9821
1 − Φ(2,1) = 0,0179
p reikšmė
p = 0,01786
Atsakymas
p = 0,01786
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 117,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·5/√36 = 2,147
Intervalo rėžis
L = 119,2 − 2,147 = 117,1
Atsakymas
L = 117,1
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,7649
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 493 − 15·155/5 = 28
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 4939 − 155²/5 = 134
Koreliacijos koeficientas
r = 28/√(10·134) = 0,7649
Atsakymas
r = 0,7649
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 11,93
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 557/6 = 92,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 377
Regresijos tiesė
b = 377/70 = 5,386
a = 92,83 − 5,386·8 = 49,75
ŷ = 49,75 + 5,386·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (114 − 49,75)/5,386 = 11,93
Atsakymas
x = 11,93
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.