Po 7 metų jums reikės €5 000. Sąskaita moka 2 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €5 0002% / 12n = 7
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€8 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 5 metus. Palūkanų norma – 3,6 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €8 0003,6% / 12N = 60
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€60 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €18 000, €17 000, €25 000. Kapitalo kaina – 10 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €22 500, €20 000, €19 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 22 500CF2 = 20 000CF3 = 19 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 3% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 5 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 7% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 3%YTM = 7%n = 5
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 3% metinį kuponą ir išperkama po 5 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 8%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 5YTM = 8%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €5 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 14%, skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €10,00 ir 5 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 000. Skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 25,8%. Akcijos beta koeficientas – 1,3, nerizikinga palūkanų norma – 1,5%, rinkos grąža – 6%. Raskite WACC.
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 200,5 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,5 mm
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 75 % reikšmių (75-asis procentilis).
Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?
p = 0,5E = 0,0295%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 72,76, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,76s = 8n = 25
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
16 matavimų imties vidurkis – 108,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 108,5σ = 20n = 1695%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (9, 11). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(9, 11)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 4347 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·7 = 84
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,15 = €4 347,30
Atsakymas
PV = €4 347,30
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 145,9 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·5 = 60
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 8 000·0,003/(1 − 0,8355) = €145,89
Atsakymas
A = €145,89
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −10804 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 18 000/1,1 = 16 363,64
CF2/(1 + 0,1)2 = 17 000/1,21 = 14 049,59
CF3/(1 + 0,1)3 = 25 000/1,331 = 18 782,87
Sudėkite
NPV = €−10 803,91
Atsakymas
NPV = €−10 803,91
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 11,9 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(10%) = 1 634,11
NPV(15%) = −2 490,34
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €15,00, i = 0,035, N = 10
Kuponų dabartinė vertė
€15,00·(1 − 0,7089)/0,035 = €124,75
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,7089 = €708,92
Kaina
P = €833,67
Atsakymas
P = €833,67
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: D = 4,678 metai
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 30/1,08 = 27,78, t·PV = 27,78
t = 2: 30/1,166 = 25,72, t·PV = 51,44
t = 3: 30/1,26 = 23,81, t·PV = 71,44
t = 4: 30/1,36 = 22,05, t·PV = 88,20
t = 5: 1030/1,469 = 701,00, t·PV = 3 505,00
Trukmė
P = 800,36
D = 3 743,87/800,36 = 4,678
Atsakymas
D = 4,678 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,767 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Atsakymas
P = 0,06681
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,04545
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545
Atsakymas
P = 0,04545
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 1,884
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,75, Var(X) = 0,8875, σX = 0,9421
Tiesinis pokytis
σY = |−2|·0,9421 = 1,884
Atsakymas
σY = 1,884
Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·1,75 + 20 = 16,5.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,1587
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standartizuokite
z = (200,5 − 200)/0,5 = 1
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 36,05 min
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Atgal į x
x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min
Atsakymas
x = 36,05 min
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 25,88
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Paklaidos riba
E = 3,055·2,5/√13 = 2,118
Intervalas
28 ± 2,118 → [25,88, 30,12]
Atsakymas
apatinis rėžis = 25,88
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 2401
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,02² = 2401
Apvalinkite aukštyn
n = 2401
Atsakymas
n = 2401
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 98,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·20/√16 = 9,8
Intervalo rėžis
L = 108,5 − 9,8 = 98,7
Atsakymas
L = 98,7
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9873
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 12888 − 147·498/6 = 687
Sxx = 3759 − 147²/6 = 157,5
Syy = 44408 − 498²/6 = 3074
Koreliacijos koeficientas
r = 687/√(157,5·3074) = 0,9873
Atsakymas
r = 0,9873
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3,9
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.