Po 4 metų jums reikės €20 000. Sąskaita moka 5 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €20 0005% / 4n = 4
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 15 metus atidedate €150. Sąskaita moka 3 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1503% / 12N = 180
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €80 000, tarnauja 8 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €1 500 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 5%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €80 000M = €1 500n = 8r = 5%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €12 500, €10 500, €8 000. Pinigų srautus galima reinvestuoti 8 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 5 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 3%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 4,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 5y0 = 3%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €1 080. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 9P = €1 080
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €12 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €1 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 10%, skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €13,00 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 050. Skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 21%. Akcijos beta koeficientas – 1,2, nerizikinga palūkanų norma – 1,5%, rinkos grąža – 7%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 80?
μ = 70σ = 10x = 80
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 8 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,25, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?
n = 8p = 0,25k = 5
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9871. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9871
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 92 h, žinomas standartinis nuokrypis 20 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 80,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,15. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?
p ≈ 0,15E = 0,0295%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 67,25, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 67,25s = 20n = 64
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 17. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 10?
n = 5ŷ = 10
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 16395 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·4 = 16
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,22 = €16 394,93
Atsakymas
PV = €16 394,93
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 34046 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,05−8)/0,05 = 6,463
Metinė pirkimo kainos dalis
80 000/6,463 = 12 377,75
EAC
EAC = 12 377,75 + 1 500 = €13 877,75
Atsakymas
EAC = €13 877,75
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 10,71 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
12 500·1,082 = 14 580,00
10 500·1,081 = 11 340,00
8 000·1,080 = 8 000,00
TV = 33 920,00
MIRR
MIRR = (33 920,00/25 000)1/3 − 1 = 10,71%
Atsakymas
MIRR = 10,71%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = −2,073 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(2%) = €1 081,62, P(3%) = €1 000,00
YTM = 2,019%
Atsakymas
YTM = 2,019%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,446 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,24
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,2 = 1,4
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,2 = 3,2
Dispersija
Var(X) = 3,2 − 1,4² = 1,24
Atsakymas
Var(X) = 1,24
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,02307
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,9871 = 0,0129
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,0129 ir nuskaitykite z.
z = −2,23
Atsakymas
z = −2,23
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8133
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Atsakymas
P = 0,8133
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 2,714 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 92 − 80,5 = 11,5
Standartinė paklaida
SE = √(20²/40 + 7²/30) = 3,411
Paklaidos riba
E = 2,576·3,411 = 8,786
Intervalas
11,5 ± 8,786 → [2,714, 20,29]
Atsakymas
apatinis rėžis = 2,714 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1225
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,96²·0,15·0,85/0,02² = 1225
Apvalinkite aukštyn
n = 1225
Atsakymas
n = 1225
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 155
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 1,282)·17/4)² = 154,7
Apvalinkite aukštyn
n = 155
Atsakymas
n = 155
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9939
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 509/5 = 101,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 426
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2029
Determinacijos koeficientas
r² = 426²/(90·2029) = 0,9939
Atsakymas
r² = 0,9939
Apie 99,39% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 4,529
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 76/5 = 15,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34
Regresijos tiesė
b = −34/10 = −3,4
a = 15,2 − (−3,4)·3 = 25,4
ŷ = 25,4 − 3,4·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (10 − 25,4)/(−3,4) = 4,529
Atsakymas
x = 4,529
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.