Investuojate €20 000 esant 7% metinei normai su tolydžiuoju kapitalizavimu. Raskite vertę FV po 5 metų.
PV = €20 000r = 7%t = 5
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 25 metus. Palūkanų norma – 4,2 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €150 0004,2% / 12N = 300
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€60 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €29 000, €24 000, €18 000, €23 000. Kapitalo kaina – 10 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
€20 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 10 metų grąžina €2 500. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €20 000CF = €2 500n = 10
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 11 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 6% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 2%YTM = 6%n = 11
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 5%, išperkama po 10 metų ir parduodama už €860. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 10P = €860
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €4 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 9%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 28%. Raskite WACC.
E = €4 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 4%T = 28%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 1 000 000 akcijų, kurių kaina €18,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €7 400 000. Ji ką tik išmokėjo €1,20 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 2% per metus. Jos skolos rinkos vertė €18 500 000, o kaina prieš mokesčius 4,5%. Mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 182 z įvertį z.
μ = 170σ = 12x = 182
z =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 5 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 5
P =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 6 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?
n = 6p = 0,3k = 4
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,8078. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8078
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 elementų imties vidurkis – 116,5, standartinis nuokrypis s = 16. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 6x̄ = 116,5s = 1695%t(5) = 2,571
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 39. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 39E = 495%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
81 studentų imties vidutinis rezultatas – 200,8, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 200,8s = 4n = 81
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 5E = 1,599%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 28381 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laipsnio rodiklis
r·t = 0,07·5 = 0,35
e0,35 = 1,419
Būsimoji vertė
FV = 20 000·1,419 = €28 381,35
Atsakymas
FV = €28 381,35
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 808,4 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·25 = 300
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,3506
A = 150 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €808,41
Atsakymas
A = €808,41
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 15431 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 29 000/1,1 = 26 363,64
CF2/(1 + 0,1)2 = 24 000/1,21 = 19 834,71
CF3/(1 + 0,1)3 = 18 000/1,331 = 13 523,67
CF4/(1 + 0,1)4 = 23 000/1,464 = 15 709,31
Sudėkite
NPV = €15 431,32
Atsakymas
NPV = €15 431,32
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 4,277 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−10)/i = 20 000/2 500 = 8
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 4%: 8,111
i = 5%: 7,722
IRR = 4,277%
Atsakymas
IRR = 4,277%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 681,3 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €10,00, i = 0,03, N = 22
Kuponų dabartinė vertė
€10,00·(1 − 0,5219)/0,03 = €159,37
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5219 = €521,89
Kaina
P = €681,26
Atsakymas
P = €681,26
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 6,993 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€860 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Skaitinis sprendimas
P(6%) = €926,40, P(7%) = €859,53
YTM = 6,993%
Atsakymas
YTM = 6,993%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,328 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·9% + 0,6·4%·(1 − 0,28) = 5,328%
Atsakymas
WACC = 5,328%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,978 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Nuosavo kapitalo kaina
D1 = 1,2·1,02 = €1,22
re = 1,224/18,5 + 0,02 = 8,616%
Rinkos vertės
E = 1 000 000·€18,50 = €18 500 000
V = €37 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8,616% + 0,5·4,5%·(1 − 0,258) = 5,978%
Atsakymas
WACC = 5,978%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,09
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (182 − 170)/12 = 1
Atsakymas
z = 1
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5981
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Atsakymas
P = 0,5981
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,05953
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,8078 = 0,1922
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,1922 ir nuskaitykite z.
z = −0,87
Atsakymas
z = −0,87
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8413
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standartizuokite
z = (0 − 10)/10 = −1
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 16,79
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 5, t = 2,571
Paklaidos riba
E = 2,571·16/√6 = 16,79
Atsakymas
E = 16,79
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 366
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·39/4)² = 365,2
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 366
Atsakymas
n = 366
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,8
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 74
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (2,576·5/1,5)² = 73,73
Apvalinkite aukštyn
n = 74
Atsakymas
n = 74
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9648
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 9735 − 141·390/6 = 570
Sxx = 3471 − 141²/6 = 157,5
Syy = 27566 − 390²/6 = 2216
Koreliacijos koeficientas
r = 570/√(157,5·2216) = 0,9648
Atsakymas
r = 0,9648
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 20,3
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 99/6 = 16,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 133
Regresijos tiesė
b = 133/70 = 1,9
a = 16,5 − 1,9·7 = 3,2
ŷ = 3,2 + 1,9·x
Prognozė
ŷ = 3,2 + 1,9·9 = 20,3
Atsakymas
ŷ = 20,3
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.