Investuojate €12 000 esant 4,8 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 4 metų.
PV = €12 0004,8% / 4n = 4
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 24 metus atidedate €50. Sąskaita moka 4,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €504,2% / 12N = 288
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €35 000, €31 000, €16 000, €37 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
€20 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 6 metų grąžina €5 500. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €20 000CF = €5 500n = 6
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą ir išperkama po 4 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 4% iki 5,5%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 8%n = 4y1 = 4%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 3 metų. Ji parduodama už €1 057. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 4,5% (2×)n = 3P = €1 057
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €4 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 11%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €47,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 0,8, nerizikinga palūkanų norma – 2%, rinkos grąža – 7%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 176?
μ = 170σ = 15x = 176
P =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 12 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 12k = 3
N =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 8 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?
n = 8p = 0,3k = 2
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 250,25 ir 257,75 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 250,25x2 = 257,75
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 11,7. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 900 stebėjimais, paklaidos riba E₂?
99%n₁ = 100E₁ = 11,795%n₂ = 900
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 34. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?
σ = 34E = 1,595%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 500; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 18. Atsitiktinės 144 stebėjimų imties vidurkis 496,67. Tikrinkite H₀: μ = 500 prieš H₁: μ < 500. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 500σ = 18n = 144x̄ = 496,67H₁: μ < μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 498,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 498,3σ = 4n = 4995%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 26). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 26)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 14523 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 35 000/1,08 = 32 407,41
CF2/(1 + 0,08)2 = 31 000/1,166 = 26 577,50
CF3/(1 + 0,08)3 = 16 000/1,26 = 12 701,32
CF4/(1 + 0,08)4 = 37 000/1,36 = 27 196,10
Sudėkite
NPV = €23 882,33
Atsakymas
NPV = €23 882,33
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 16,5 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−6)/i = 20 000/5 500 = 3,636
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 16%: 3,685
i = 17%: 3,589
IRR = 16,5%
Atsakymas
IRR = 16,5%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: ΔP = −57,57 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €22,50, N = 6
Skaitinis sprendimas
i = 1,258% per pusmetį
YTM
YTM = 2·1,258% = 2,515%
Atsakymas
YTM = 2,515%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,296 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·11% + 0,6·4%·(1 − 0,21) = 6,296%
Atsakymas
WACC = 6,296%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,708 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 2 500 000·€47,50 = €118 750 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 0,8·5% = 6%
Svoriai
V = €128 350 000, E/V = 0,9252, D/V = 0,0748
WACC
WACC = 0,9252·6% + 0,0748·3%·(1 − 0,3) = 5,708%
Atsakymas
WACC = 5,708%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 10,33
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Atsakymas
P = 0,6554
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 220
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220
Atsakymas
N = 220
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2965
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 2) = 28·0,32·0,76 = 28·0,09·0,1176 = 0,2965
Atsakymas
P = 0,2965
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,4195
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (250,25 − 250)/5 = 0,05
z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55
Plotas tarp
P = Φ(1,55) − Φ(0,05) = 0,9394 − 0,5199 = 0,4195
Atsakymas
P = 0,4195
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7611
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611
Atsakymas
P = 0,7611
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 2,967
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/900) = 0,2536
Nauja paklaidos riba
E₂ = 11,7·0,2536 = 2,967
Atsakymas
E₂ = 2,967
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1974
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·34/1,5)² = 1974
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 1974
Atsakymas
n = 1974
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,01321
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (496,67 − 500)/1,5 = −2,22
Uodegos plotas
Φ(2,22) = 0,9868
1 − Φ(2,22) = 0,0132
p reikšmė
p = 0,01321
Atsakymas
p = 0,01321
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 497,2
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·4/√49 = 1,12
Intervalo rėžis
L = 498,3 − 1,12 = 497,2
Atsakymas
L = 497,2
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,996
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 567/5 = 113,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 546
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3339
Koreliacijos koeficientas
r = 546/√(90·3339) = 0,996
Atsakymas
r = 0,996
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 2,8
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 104/5 = 20,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Regresijos tiesė
b = −16/10 = −1,6
a = 20,8 − (−1,6)·3 = 25,6
ŷ = 25,6 − 1,6·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 25,6 + (−1,6)·1,5 = 23,2
Liekana
e = 26 − 23,2 = 2,8
Atsakymas
e = 2,8
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.