Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €8 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 4% per metus. Reikalaujama grąža 7% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €8 000g = 4%r = 7%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 28 metų įnešate €3 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 8% per metus. Kiek bus sąskaitoje 28-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €3 000i = 8%n = 28
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €22 000, €30 000, €29 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €25 000, €26 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −40 000CF1 = 25 000CF2 = 26 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 7 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €940, kai pajamingumas iki išpirkimo 4%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 7P = €940YTM = 4%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 7 metų. Ji parduodama už €879. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 2% (2×)n = 7P = €879
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €10 000 000, o skola – €1 000 000. Jos WACC 12,1%, skolos kaina prieš mokesčius 4,5%, o mokesčio tarifas 30%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Esant dabartiniam skolos ir nuosavo kapitalo santykiui 0,2, įmonės akcijų beta 1,3. Ji planuoja padidinti skolos ir nuosavo kapitalo santykį iki 0,75. Mokesčio tarifas 25,8%, nerizikinga norma 2%, o rinkos rizikos premija 5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re po pakeitimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 162?
μ = 170σ = 10x = 162
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €4 su tikimybe 0,1 ir €100 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€4: p = 0,1€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,7620. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,7620
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
Populiacijos standartinis nuokrypis – 29. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?
σ = 29E = 1,599%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
100 studentų imties vidutinis rezultatas – 120,8, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 120,8s = 12n = 100
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 10E = 0,599%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2,5, 64). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 64)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 266667 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,08)28 − 1)/0,08 = 95,34
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 3 000·95,34·1,08 = €308 897,81
Atsakymas
FV = €308 897,81
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −3196 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 22 000/1,06 = 20 754,72
CF2/(1 + 0,06)2 = 30 000/1,124 = 26 699,89
CF3/(1 + 0,06)3 = 29 000/1,191 = 24 348,96
Sudėkite
NPV = €−3 196,43
Atsakymas
NPV = €−3 196,43
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 18,44 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(15%) = 1 776,94
NPV(20%) = −763,89
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,04)−7 = €759,92
Kuponas
C = (940 − 759,92)/6,002 = €30,00
Kupono norma
c = 30/1000 = 3%
Atsakymas
c = 3%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 3,999 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €10,00, N = 14
Skaitinis sprendimas
i = 1,999% per pusmetį
YTM
YTM = 2·1,999% = 3,999%
Atsakymas
YTM = 3,999%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 12,99 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091
WACC skolos dalis
0,09091·4,5%·(1 − 0,3) = 0,2864%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (12,1% − 0,2864%)/0,9091 = 12,99%
Atsakymas
re = 12,99%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 10,81 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Pašalinkite skolos poveikį beta
βU = 1,3/(1 + 0,742·0,2) = 1,132
Perskaičiuokite su nauju D/E
βL = 1,132·(1 + 0,742·0,75) = 1,762
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 1,762·5% = 10,81%
Atsakymas
re = 10,81%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,67
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 200/5 = 40
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−23)² + 13² + 0² + 5² + 5² = 748
Standartinis nuokrypis
s = √(748/4) = 13,67
Atsakymas
s = 13,67
10.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,7881
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,8
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,31
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,25 = 1,3
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,25 = 3
Dispersija
Var(X) = 3 − 1,3² = 1,31
Atsakymas
Var(X) = 1,31
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,4 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 2 (p = 0,1), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,88)
Laukiamoji vertė
E(G) = 2·0,1 + 98·0,02 − 2·0,88 = 0,4 €
Atsakymas
E(G) = 0,4 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,18
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,7620)/2 = 0,8810
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,8810 ir nuskaitykite z.
z = 1,18
Atsakymas
z = 1,18
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8665
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665
Atsakymas
P = 0,8665
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 84,44
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Paklaidos riba
E = 1,782·11/√13 = 5,437
Intervalas
79 ± 5,437 → [73,56, 84,44]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 84,44
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 2481
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·29/1,5)² = 2480
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 2481
Atsakymas
n = 2481
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 0,6667
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 2655
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (2,576·10/0,5)² = 2654
Apvalinkite aukštyn
n = 2655
Atsakymas
n = 2655
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9985
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 4430 − 48·508/6 = 366
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 44930 − 508²/6 = 1919
Koreliacijos koeficientas
r = 366/√(70·1919) = 0,9985
Atsakymas
r = 0,9985
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 5,45
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 322/5 = 64,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
Regresijos tiesė
b = 39/10 = 3,9
a = 64,4 − 3,9·4 = 48,8
ŷ = 48,8 + 3,9·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 48,8 + 3,9·2,5 = 58,55
Liekana
e = 64 − 58,55 = 5,45
Atsakymas
e = 5,45
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.