Po 3 metų jums reikės €10 000. Sąskaita moka 3,6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €10 0003,6% / 12n = 3
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 23 metus atidedate €150. Sąskaita moka 2,4 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1502,4% / 12N = 276
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €30 000 ir 1–6 metų pabaigoje grąžina po €13 000, €13 000, €8 000, €8 000, €6 000, €11 500. Kapitalo kaina 5 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €12 000, €12 500, €18 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 12 500CF3 = 18 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 15 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 518, kai pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 15P = €1 518YTM = 3,5%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 4 metų ir parduodama už €910. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 4P = €910
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 1,4, reikalaujama grąža 9,8%. Nerizikinga norma 3,5%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 1,4re = 9,8%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 2 000 000 akcijų, kurių kaina €42,00; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €42 000 000. Ji ką tik išmokėjo €1,60 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 3% per metus. Jos skolos rinkos vertė €25 200 000, o kaina prieš mokesčius 5%. Mokesčio tarifas 20%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 40. Raskite rezultato 580 z įvertį z.
μ = 500σ = 40x = 580
z =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 4 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 4
P =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €8 su tikimybe 0,3 ir €20 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€8: p = 0,3€20: p = 0,02
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,6778. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,6778
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 5 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 30. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 30E = 190%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −4,88, o skirtumų standartinis nuokrypis 6,3. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = −4,88sd = 6,3
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 80,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 80,6σ = 15n = 4995%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4.
n = 6x = 4
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 8978 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·3 = 36
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,114 = €8 977,73
Atsakymas
PV = €8 977,73
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 55182 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 13 000/1,05 = 12 380,95 → Σ = 12 380,95
metai 2: 13 000/1,103 = 11 791,38 → Σ = 24 172,34
metai 3: 8 000/1,158 = 6 910,70 → Σ = 31 083,04
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 2 + 5 827,66/6 910,70 = 2,843
Atsakymas
DPB = 2,843 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (2,5 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 29,52 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 1 816,00
NPV(30%) = −179,79
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,035)−15 = €596,89
Kuponas
C = (1518 − 596,89)/11,52 = €79,98
Kupono norma
c = 79,98/1000 = 7,998%
Atsakymas
c = 7,998%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 5,572 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€910 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €929,08, P(6%) = €896,05
YTM = 5,572%
Atsakymas
YTM = 5,572%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 8 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (9,8% − 3,5%)/1,4 = 4,5%
Rinkos grąža
rm = 3,5% + 4,5% = 8%
Atsakymas
rm = 8%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,249 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (580 − 500)/40 = 2
Atsakymas
z = 2
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5177
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Atsakymas
P = 0,5177
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,8 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 6 (p = 0,3), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,68)
Laukiamoji vertė
E(G) = 6·0,3 + 18·0,02 − 2·0,68 = 0,8 €
Atsakymas
E(G) = 0,8 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,99
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,6778)/2 = 0,8389
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,8389 ir nuskaitykite z.
z = 0,99
Atsakymas
z = 0,99
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 166,5 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,05
z iš lentelės
z ≈ −1,64
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 − 1,64·7 = 166,5 cm
Atsakymas
x = 166,5 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 33,03
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Paklaidos riba
E = 2,797·9/√25 = 5,035
Intervalas
28 ± 5,035 → [22,97, 33,03]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 33,03
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 2436
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·30/1)² = 2435
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 2436
Atsakymas
n = 2436
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 6,3/√15 = 1,627
Testo statistika
t = −4,88/1,627 = −3
Atsakymas
t = −3
Kai df = 14, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,145; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 76,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·15/√49 = 4,2
Intervalo rėžis
L = 80,6 − 4,2 = 76,4
Atsakymas
L = 76,4
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9762
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 1258 − 25·230/5 = 108
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 10886 − 230²/5 = 306
Koreliacijos koeficientas
r = 108/√(40·306) = 0,9762
Atsakymas
r = 0,9762
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 39,6
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 347/6 = 57,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 319
Regresijos tiesė
b = 319/70 = 4,557
a = 57,83 − 4,557·8 = 21,38
ŷ = 21,38 + 4,557·x
Prognozė
ŷ = 21,38 + 4,557·4 = 39,6
Atsakymas
ŷ = 39,6
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.