Po 7 metų jums reikės €50 000. Sąskaita moka 4 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €50 0004% / 4n = 7
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metus. Palūkanų norma – 4,2 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €150 0004,2% / 12N = 360
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €100 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €9 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 1% per metus. Kapitalo kaina 9%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 1%r = 9%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
€25 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 3 metų grąžina €11 000. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €25 000CF = €11 000n = 3
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 7 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4,5%YTM = 3%n = 7
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 6 metų ir parduodama už €875. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 6P = €875
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €2 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €3 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.
Įmonė turi 4 000 000 akcijų po €19,00 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €980. Skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 25,8%. Akcijos beta koeficientas – 1,3, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 7%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 103,2?
μ = 100σ = 8x = 103,2
P =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 3 raudoni ir 4 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
3 / 4
P =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,1. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 7p = 0,1
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 29,3 ir 36,8 min? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 32σ = 6x1 = 29,3x2 = 36,8
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 studentų imties vidutinis rezultatas – 122,6, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,6s = 15n = 16
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 10E = 1,599%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 31). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 31)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 37842 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·7 = 28
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,321 = €37 841,78
Atsakymas
PV = €37 841,78
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 733,5 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·30 = 360
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,2843
A = 150 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €733,53
Atsakymas
A = €733,53
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 12500 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 9 000/(0,09 − 0,01) = 112 500,00
NPV
NPV = 112 500,00 − 100 000 = €12 500,00
Atsakymas
NPV = €12 500,00
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 15,28 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−3)/i = 25 000/11 000 = 2,273
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 15%: 2,283
i = 16%: 2,246
IRR = 15,28%
Atsakymas
IRR = 15,28%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1094 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €22,50, i = 0,015, N = 14
Kuponų dabartinė vertė
€22,50·(1 − 0,8118)/0,015 = €282,23
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,8118 = €811,85
Kaina
P = €1 094,08
Atsakymas
P = €1 094,08
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 5,502 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€875 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €898,49, P(6%) = €852,48
YTM = 5,502%
Atsakymas
YTM = 5,502%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,203 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·8% + 0,6·4,5%·(1 − 0,258) = 5,203%
Atsakymas
WACC = 5,203%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,024 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Atsakymas
P = 0,6554
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1429
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429
Atsakymas
P = 0,1429
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,8503
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,97 = 0,4783
P(X = 1) = 7·0,1·0,96 = 0,372
Sudėkite
P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503
Atsakymas
P = 0,8503
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,4618
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (29,3 − 32)/6 = −0,45
z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8
Plotas tarp
P = Φ(0,8) − Φ(−0,45) = 0,7881 − 0,3264 = 0,4618
Atsakymas
P = 0,4618
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9099
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Atsakymas
P = 0,9099
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 102,6
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Paklaidos riba
E = 1,833·14/√10 = 8,115
Intervalas
94,5 ± 8,115 → [86,38, 102,6]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 102,6
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 3,31 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (12·4² + 8·4,5²)/20 = 17,7
sp = 4,207
Paklaidos riba
E = 2,845·4,207·√(1/13 + 1/9) = 5,19
Intervalas
8,5 ± 5,19 → [3,31, 13,69]
Atsakymas
apatinis rėžis = 3,31 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 0,6933
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 295
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (2,576·10/1,5)² = 294,9
Apvalinkite aukštyn
n = 295
Atsakymas
n = 295
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9842
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 343/5 = 68,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1367
Determinacijos koeficientas
r² = 232²/(40·1367) = 0,9842
Atsakymas
r² = 0,9842
Apie 98,42% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −2,65
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 163/5 = 32,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 21
Regresijos tiesė
b = 21/10 = 2,1
a = 32,6 − 2,1·3 = 26,3
ŷ = 26,3 + 2,1·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 26,3 + 2,1·3,5 = 33,65
Liekana
e = 31 − 33,65 = −2,65
Atsakymas
e = −2,65
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.