CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 17,5% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas pusmetį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.

r = 17,5%m = 2

EAR = %

2.Pinigų vertė laikeSunkus

Po 15 metų norite turėti €100 000. Kiekvieno mėnesio pabaigoje atidedate tą pačią sumą į sąskaitą, kuri moka 6% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite mėnesio įnašą A.

FV = €100 0006% / 12N = 180

A = €

3.NPV ir IRRVidutinis

€75 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €16 000, €28 000, €26 000. Kapitalo kaina – 7,000000000000001 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 16 000CF₂ = 28 000CF₃ = 26 000

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €14 000, €21 000, €19 000. Pinigų srautus galima reinvestuoti 6 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 000CF₂ = 21 000CF₃ = 19 000

MIRR = %

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 11 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 4,5%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 6%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 7,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.

F = €1 000kuponas = 4,5%n = 11y₀ = 6%y₁ = 7,5%

HPR = %

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 6%, išperkama po 6 metų ir parduodama už €910. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.

F = €1 000kuponas = 6%n = 6P = €910

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonė turi €8 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €1 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonė turi 1 000 000 akcijų, kurių kaina €44,00; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €13 200 000. Ji ką tik išmokėjo €1,00 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 5% per metus. Jos skolos rinkos vertė €13 200 000, o kaina prieš mokesčius 3%. Mokesčio tarifas 28%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.

N = 1 000 000P₀ = €44,00balansinis nuosavas kapitalas = €13 200 000D₀ = €1,00g = 5%D = €13 200 000r_d = 3%T = 28%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 42, 10, 43, 11, 47, 35.

n = 6

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 186?

μ = 170σ = 8x = 186

P =

11.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,15, 0,25

Var(X) =

12.TikimybėSunkus

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,5, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 11p = 0,5k = 5

P =

13.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 422 ir 540 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 540

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = tšk.

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 36 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 3,5. Kokia yra tų pačių duomenų 90 % intervalo paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 36E₁ = 3,590%

E₂ =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?

p = 0,5E = 0,0295%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 203,5, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,5s = 15n = 81

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

36 matavimų imties vidurkis – 107,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 107,5σ = 15n = 3695%

L =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (6, 62). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(6, 62)

e =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: EAR = 18,27 %

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Laikotarpio norma

r/m = 0,175/2 = 0,0875

Kapitalizuokite per vienus metus

EAR = (1 + 0,0875)² − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%

Atsakymas

EAR = 18,27%

Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 343,9 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·15 = 180

Įnašas

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,005/(2,454 − 1) = €343,86

Atsakymas

A = €343,86

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −14367 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 16 000/1,07 = 14 953,27

CF₂/(1 + 0,07)² = 28 000/1,145 = 24 456,28

CF₃/(1 + 0,07)³ = 26 000/1,225 = 21 223,74

Sudėkite

NPV = €−14 366,70

Atsakymas

NPV = €−14 366,70

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: MIRR = 12,52 %

Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Įplaukų galinė vertė

14 000·1,06² = 15 730,40

21 000·1,06¹ = 22 260,00

19 000·1,06⁰ = 19 000,00

TV = 56 990,40

MIRR

MIRR = (56 990,40/40 000)^1/3 − 1 = 12,52%

Atsakymas

MIRR = 12,52%

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: HPR = −4,834 %

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Pirkimo kaina

C = €45,00, i = 0,06, N = 11

€45,00·(1 − 0,5268)/0,06 + €1 000·0,5268 = €354,91 + €526,79 = €881,70

Pardavimo kaina

C = €45,00, i = 0,075, N = 10

€45,00·(1 − 0,4852)/0,075 + €1 000·0,4852 = €308,88 + €485,19 = €794,08

Laikymo laikotarpio grąža

HPR = (45 + 794,08 − 881,70)/881,70 = −4,834%

Atsakymas

HPR = −4,834%

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 7,944 %

Pajamingumo lygtis

€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Skaitinis sprendimas

P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54

YTM = 7,944%

Atsakymas

YTM = 7,944%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 7,511 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

WACC

WACC = 0,8889·8% + 0,1111·4,5%·(1 − 0,2) = 7,511%

Atsakymas

WACC = 7,511%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 6,18 %

Nuosavo kapitalo kaina

D₁ = 1·1,05 = €1,05

r_e = 1,05/44 + 0,05 = 7,386%

Rinkos vertės

E = 1 000 000·€44,00 = €44 000 000

V = €57 200 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·7,386% + 0,2308·3%·(1 − 0,28) = 6,18%

Atsakymas

WACC = 6,18%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,6

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 188/6 = 31,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 10,67² + (−21,33)² + 11,67² + (−20,33)² + 15,67² + 3,667² = 1377

Standartinis nuokrypis

s = √(1377/5) = 16,6

Atsakymas

s = 16,6

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,02275

Standartizuokite

z = 2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

11.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,328

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,25 = 2,35

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,25 = 6,85

Dispersija

Var(X) = 6,85 − 2,35² = 1,328

Atsakymas

Var(X) = 1,328

12.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2256

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 5) = 462·0,5⁵·0,5⁶ = 462·0,03125·0,01563 = 0,2256

Atsakymas

P = 0,2256

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8158

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Plotas tarp

P = Φ(1) − Φ(−1,95) = 0,8413 − 0,02559 = 0,8158

Atsakymas

P = 0,8158

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 52,18 tšk.

Procentilio z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Atgal į x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 tšk.

Atsakymas

x = 52,18 tšk.

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 2,235

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/36) = 0,6386

Nauja paklaidos riba

E₂ = 3,5·0,6386 = 2,235

Atsakymas

E₂ = 2,235

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 2401

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,02² = 2401

Apvalinkite aukštyn

n = 2401

Atsakymas

n = 2401

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Testo statistika

t = (203,5 − 200)/1,667 = 2,1

Atsakymas

t = 2,1

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 102,6

Paklaidos riba

E = 1,96·15/√36 = 4,9

Intervalo rėžis

L = 107,5 − 4,9 = 102,6

Atsakymas

L = 102,6

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,968

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 80/5 = 16

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 50

Determinacijos koeficientas

r² = −22²/(10·50) = 0,968

Atsakymas

r² = 0,968

Apie 96,8% y kitimo paaiškinama tiese.

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 3,495

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 422/6 = 70,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 414

Regresijos tiesė

b = 414/70 = 5,914

a = 70,33 − 5,914·8 = 23,02

ŷ = 23,02 + 5,914·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 23,02 + 5,914·6 = 58,5

Liekana

e = 62 − 58,5 = 3,495

Atsakymas

e = 3,495

Taškas yra virš tiesės.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income