Anuitetas 20 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €1 000. Palūkanų norma 8% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €1 000i = 8%n = 20
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 24 metus atidedate €100. Sąskaita moka 5,4 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1005,4% / 12N = 288
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €80 000. Kiekvienų metų pabaigoje 4 metų ji generuoja €23 000, o po to gali būti parduota už €12 000. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €80 000CF = €23 000S = €12 000n = 4r = 12%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €27 500, €23 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −40 000CF1 = 27 500CF2 = 23 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 7 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 6% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4%YTM = 6%n = 7
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 17 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%), parduodama už €1 113. Emitentas gali ją išpirkti po 5 metų už €1 060 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 6%P = €1 113išpirkimo kaina = €1 060išpirkimas po 5 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €3 000 000, o skola – €3 000 000. Jos WACC 7,4%, skolos kaina prieš mokesčius 4%, o mokesčio tarifas 30%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €8 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 13%. Jos skolą sudaro 5 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%, iki išpirkimo 12 metų), kurių kiekviena parduodama už €1 137. Mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 50. Raskite rezultato 550 z įvertį z.
μ = 500σ = 50x = 550
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,25, 0,2
σ =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €5. Laimite €25 su tikimybe 0,1 ir €50 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €5€25: p = 0,1€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 502 ir 534 h? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 500σ = 40x1 = 502x2 = 534
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 80 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
10 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 7,9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 9, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 2,7, o 2,5 % – aukščiau 19,023.
n = 10s = 7,9 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 116,3, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116,3s = 10n = 36
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 60 iš 120 pacientų, gydytų A būdu, ir 114 iš 200 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 114n₂ = 200
z =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 9818 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2145)/0,08 = 9,818
Dabartinė vertė
PV = 1 000·9,818 = €9 818,15
Atsakymas
PV = €9 818,15
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 58756 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
23 000·3,037 = 69 859,03
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
12 000/1,574 = 7 626,22
NPV
NPV = −80 000 + 69 859,03 + 7 626,22 = −€2 514,75
Atsakymas
NPV = −€2 514,75
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 17,63 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(15%) = 1 304,35
NPV(20%) = −1 111,11
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, i = 0,03, N = 14
Kuponų dabartinė vertė
€20,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €225,92
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,6611 = €661,12
Kaina
P = €887,04
Atsakymas
P = €887,04
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTC = 4,521 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1113 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1060/(1 + y)5
Skaitinis sprendimas
y = 4%: €1 138,35
y = 5%: €1 090,31
YTC = 4,521%
Atsakymas
YTC = 4,521%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 4,998%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 12 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC skolos dalis
0,5·4%·(1 − 0,3) = 1,4%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (7,4% − 1,4%)/0,5 = 12%
Atsakymas
re = 12%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,986 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (550 − 500)/50 = 1
Atsakymas
z = 1
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,068
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,2 = 2,4
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,2 = 6,9
Dispersija
Var(X) = 6,9 − 2,4² = 1,14
σ = √1,14 = 1,068
Atsakymas
σ = 1,068
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = −2 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 20 (p = 0,1), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)
Laukiamoji vertė
E(G) = 20·0,1 + 45·0,01 − 5·0,89 = −2 €
Atsakymas
E(G) = −2 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,2824
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05
z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85
Plotas tarp
P = Φ(0,85) − Φ(0,05) = 0,8023 − 0,5199 = 0,2824
Atsakymas
P = 0,2824
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 183,9 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,8
z iš lentelės
z ≈ 0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm
Atsakymas
x = 183,9 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 70,27
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Paklaidos riba
E = 2,086·6/√21 = 2,731
Intervalas
73 ± 2,731 → [70,27, 75,73]
Atsakymas
apatinis rėžis = 70,27
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 5,434 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 9·7,9² = 561,7
σ² rėžiai
561,7/19,023 = 29,53
561,7/2,7 = 208
σ rėžis
σ = √29,53 = 5,434 µm
Atsakymas
σ = 5,434 µm
σ 95 % intervalas: [5,434, 14,42] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,22
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −1,217
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 304/5 = 60,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80
Syy = Σ(y − ȳ)² = 656,8
Determinacijos koeficientas
r² = 80²/(10·656,8) = 0,9744
Atsakymas
r² = 0,9744
Apie 97,44% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 21,68
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 109/6 = 18,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −61,5
Regresijos tiesė
b = −61,5/17,5 = −3,514
a = 18,17 − (−3,514)·3,5 = 30,47
ŷ = 30,47 − 3,514·x
Prognozė
ŷ = 30,47 + (−3,514)·2,5 = 21,68
Atsakymas
ŷ = 21,68
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.