Anuitetas 12 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €8 000. Palūkanų norma 4% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €8 000i = 4%n = 12
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€200 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 25 metus. Palūkanų norma – 6 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €200 0006% / 12N = 300
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€60 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €21 000, €20 000, €14 000. Kapitalo kaina – 7,000000000000001 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €5 000, €6 000, €6 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 6 000CF3 = 6 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 3 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 2,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 2%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 3y0 = 2,5%y1 = 2%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 7%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €1 140. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 7%n = 9P = €1 140
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €3 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 13%, skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
Įmonė turi 5 000 000 akcijų, kurių kaina €33,00; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €82 500 000. Ji ką tik išmokėjo €1,30 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 3% per metus. Jos skolos rinkos vertė €132 000 000, o kaina prieš mokesčius 4%. Mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 86 z įvertį z.
μ = 70σ = 8x = 86
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,2, 0,35, 0,2
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 7 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?
n = 7p = 0,2k = 5
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9051. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9051
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 80 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
20 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 1, o standartinis nuokrypis 7,5. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 20d̄ = 1sd = 7,595%t(19) = 2,093
viršutinis rėžis = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
30 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 7 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 29, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 16,047, o 2,5 % – aukščiau 45,722.
n = 30s = 7 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
49 studentų imties vidutinis rezultatas – 191,1, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 191,1s = 20n = 49
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
16 matavimų imties vidurkis – 205. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 205σ = 8n = 1695%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 20?
n = 6ŷ = 20
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 75081 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6246)/0,04 = 9,385
Dabartinė vertė
PV = 8 000·9,385 = €75 080,59
Atsakymas
PV = €75 080,59
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 1289 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·25 = 300
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,224
A = 200 000·0,005/(1 − 0,224) = €1 288,60
Atsakymas
A = €1 288,60
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −11477 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 21 000/1,07 = 19 626,17
CF2/(1 + 0,07)2 = 20 000/1,145 = 17 468,77
CF3/(1 + 0,07)3 = 14 000/1,225 = 11 428,17
Sudėkite
NPV = €−11 476,89
Atsakymas
NPV = €−11 476,89
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 30,88 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(30%) = 127,45
NPV(35%) = −565,46
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 30 + 5·127,45/(127,45 − (−565,46)) = 30,92%
tiksliai: NPV(30,88%) = 0 → IRR = 30,88%
Atsakymas
IRR = 30,88%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 3,439 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 140 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €1 142,16, P(6%) = €1 068,02
YTM = 5,028%
Atsakymas
YTM = 5,028%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,731 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
WACC
WACC = 0,4286·13% + 0,5714·7%·(1 − 0,21) = 8,731%
Atsakymas
WACC = 8,731%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,165 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (86 − 70)/8 = 2
Atsakymas
z = 2
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 115
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9051)/2 = 0,9525
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9525 ir nuskaitykite z.
z = 1,67
Atsakymas
z = 1,67
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 534 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,8
z iš lentelės
z ≈ 0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 + 0,84·40 = 534 h
Atsakymas
x = 534 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 4,51 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 19, t = 2,093
Paklaidos riba
E = 2,093·7,5/√20 = 3,51
Intervalas
1 ± 3,51 → [−2,51, 4,51]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 4,51 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 5,575 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 29·7² = 1421
σ² rėžiai
1421/45,722 = 31,08
1421/16,047 = 88,55
σ rėžis
σ = √31,08 = 5,575 µm
Atsakymas
σ = 5,575 µm
σ 95 % intervalas: [5,575, 9,41] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,115
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 208,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·8/√16 = 3,92
Intervalo rėžis
U = 205 + 3,92 = 208,9
Atsakymas
U = 208,9
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9961
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 160/6 = 26,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246
Syy = Σ(y − ȳ)² = 871,3
Koreliacijos koeficientas
r = 246/√(70·871,3) = 0,9961
Atsakymas
r = 0,9961
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 5,538
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 149/6 = 24,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41,5
Regresijos tiesė
b = −41,5/17,5 = −2,371
a = 24,83 − (−2,371)·3,5 = 33,13
ŷ = 33,13 − 2,371·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (20 − 33,13)/(−2,371) = 5,538
Atsakymas
x = 5,538
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.